Giải tích Ví dụ

$y = {(x^{3} + 2 x + 1)}^{5}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{3} + 2 x + 1)}^{5})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{5}$ và $g (x) = x^{3} + 2 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{3} + 2 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x + 1]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x + 1]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{3} + 2 x + 1$ .

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x + 1]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + 2 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 3.2.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 3.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 3.2.5

Nhân $2$ với $1$ .

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 3.2.6

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2 + 0)$

Bước 3.2.7

Cộng $3 x^{2} + 2$ và $0$ .

$5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2)$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = 5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2)$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 {(x^{3} + 2 x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2)$