Giải tích Ví dụ

$\sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$

Bước 1

Viết $\sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x) d x$

Bước 4

Đưa $\cos^{2} (x)$ ra ngoài.

$\int \sin^{2} (x) \cdot (\cos^{2} (x) \cos (x)) d x$

Bước 5

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\cos^{2} (x)$ ở dạng $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) \cdot ((1 - \sin^{2} (x)) \cos (x)) d x$

Bước 6

Nhân $\sin^{2} (x)$ với $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x$

Bước 7

Giả sử $u = \sin (x)$ . Sau đó $d u = \cos (x) d x$ , nên $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u = \sin (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 7.1.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Bước 7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Bước 8

Nhân $u^{2} (1 - u^{2})$ .

$\int u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u^{2}) d u$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $u^{2}$ với $1$ .

$\int u^{2} + u^{2} (- u^{2}) d u$

Bước 9.2

Nhân $u^{2}$ với $u^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Di chuyển $u^{2}$ .

$\int u^{2} + u^{2} u^{2} \cdot - 1 d u$

Bước 9.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u^{2} + u^{2 + 2} \cdot - 1 d u$

Bước 9.2.3

Cộng $2$ và $2$ .

$\int u^{2} + u^{4} \cdot - 1 d u$

Bước 9.3

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $u^{4}$ .

$\int u^{2} - 1 \cdot u^{4} d u$

Bước 9.4

Viết lại $- 1 u^{4}$ ở dạng $- u^{4}$ .

$\int u^{2} - u^{4} d u$

Bước 10

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int u^{2} d u + \int - u^{4} d u$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int - u^{4} d u$

Bước 12

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - \int u^{4} d u$

Bước 13

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{4}$ đối với $u$ là $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

Bước 14

Rút gọn.

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{5} u^{5} + C$

Bước 15

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x)$ .

$\frac{1}{3} \sin^{3} (x) - \frac{1}{5} \sin^{5} (x) + C$

Bước 16

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} \sin^{3} (x) - \frac{1}{5} \sin^{5} (x) + C$