Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{3} (\frac{1}{4} x^{2}) (2 x^{2}) (3 - x) d x$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{1}{4} (x^{2} x^{2}) \cdot 2 (3 - x) d x$

Bước 1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{0}^{3} \frac{1}{4} x^{2 + 2} \cdot 2 (3 - x) d x$

Bước 1.1.3

Cộng $2$ và $2$ .

$\int_{0}^{3} \frac{1}{4} x^{4} \cdot 2 (3 - x) d x$

Bước 1.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{4} \cdot 2 (3 - x) d x$

Bước 1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{2 (2)} \cdot 2 (3 - x) d x$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{2 \cdot 2} \cdot 2 (3 - x) d x$

Bước 1.3.3

Viết lại biểu thức.

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{2} (3 - x) d x$

Bước 1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{2} \cdot 3 + \frac{x^{4}}{2} (- x) d x$

Bước 1.5

Kết hợp $\frac{x^{4}}{2}$ và $3$ .

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4} \cdot 3}{2} + \frac{x^{4}}{2} (- x) d x$

Bước 1.6

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4} \cdot 3}{2} - \frac{x^{4}}{2} x d x$

Bước 1.7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x^{4}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{3 \cdot x^{4}}{2} - \frac{x^{4}}{2} x d x$

Bước 1.7.2

Nhân $- \frac{x^{4}}{2} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.2.1

Kết hợp $x$ và $\frac{x^{4}}{2}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} - \frac{x \cdot x^{4}}{2} d x$

Bước 1.7.2.2

Nhân $x$ với $x^{4}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.2.2.1

Nhân $x$ với $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.2.2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} - \frac{x^{1} x^{4}}{2} d x$

Bước 1.7.2.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} - \frac{x^{1 + 4}}{2} d x$

Bước 1.7.2.2.2

Cộng $1$ và $4$ .

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} - \frac{x^{5}}{2} d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} d x + \int_{0}^{3} - \frac{x^{5}}{2} d x$

Bước 3

Vì $\frac{3}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{3}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{3}{2} \int_{0}^{3} x^{4} d x + \int_{0}^{3} - \frac{x^{5}}{2} d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{3}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - \frac{x^{5}}{2} d x$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{3}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} \frac{x^{5}}{2} d x$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{3}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{3} x^{5} d x)$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{5}$ đối với $x$ là $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{3}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3} - \frac{1}{2} \frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{3}$

Bước 8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $\frac{1}{5} x^{5}$ tại $3$ và tại $0$ .

$\frac{3}{2} ((\frac{1}{5} \cdot 3^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{1}{2} \frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{3}$

Bước 8.2

Tính $\frac{1}{6} x^{6}$ tại $3$ và tại $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{5} \cdot 3^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $5$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{5} \cdot 243 - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Bước 8.3.2

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $243$ .

$\frac{3}{2} (\frac{243}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Bước 8.3.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{243}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Bước 8.3.4

Nhân $0$ với $- 1$ .

$\frac{3}{2} (\frac{243}{5} + 0 (\frac{1}{5})) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Bước 8.3.5

Nhân $0$ với $\frac{1}{5}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{243}{5} + 0) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Bước 8.3.6

Cộng $\frac{243}{5}$ và $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{243}{5} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Bước 8.3.7

Nhân $\frac{3}{2}$ với $\frac{243}{5}$ .

$\frac{3 \cdot 243}{2 \cdot 5} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Bước 8.3.8

Nhân $3$ với $243$ .

$\frac{729}{2 \cdot 5} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Bước 8.3.9

Nhân $2$ với $5$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Bước 8.3.10

Nâng $3$ lên lũy thừa $6$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 729 - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Bước 8.3.11

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $729$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{729}{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Bước 8.3.12

Triệt tiêu thừa số chung của $729$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.12.1

Đưa $3$ ra ngoài $729$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{3 (243)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Bước 8.3.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.12.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Bước 8.3.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Bước 8.3.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Bước 8.3.13

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 0)$

Bước 8.3.14

Nhân $0$ với $- 1$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{243}{2} + 0 (\frac{1}{6}))$

Bước 8.3.15

Nhân $0$ với $\frac{1}{6}$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{243}{2} + 0)$

Bước 8.3.16

Cộng $\frac{243}{2}$ và $0$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} \cdot \frac{243}{2}$

Bước 8.3.17

Nhân $\frac{243}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{729}{10} - \frac{243}{2 \cdot 2}$

Bước 8.3.18

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{729}{10} - \frac{243}{4}$

Bước 8.3.19

Để viết $\frac{729}{10}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{729}{10} \cdot \frac{2}{2} - \frac{243}{4}$

Bước 8.3.20

Để viết $- \frac{243}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{729}{10} \cdot \frac{2}{2} - \frac{243}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Bước 8.3.21

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $20$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.21.1

Nhân $\frac{729}{10}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{729 \cdot 2}{10 \cdot 2} - \frac{243}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Bước 8.3.21.2

Nhân $10$ với $2$ .

$\frac{729 \cdot 2}{20} - \frac{243}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Bước 8.3.21.3

Nhân $\frac{243}{4}$ với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{729 \cdot 2}{20} - \frac{243 \cdot 5}{4 \cdot 5}$

Bước 8.3.21.4

Nhân $4$ với $5$ .

$\frac{729 \cdot 2}{20} - \frac{243 \cdot 5}{20}$

Bước 8.3.22

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{729 \cdot 2 - 243 \cdot 5}{20}$

Bước 8.3.23

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.23.1

Nhân $729$ với $2$ .

$\frac{1458 - 243 \cdot 5}{20}$

Bước 8.3.23.2

Nhân $- 243$ với $5$ .

$\frac{1458 - 1215}{20}$

Bước 8.3.23.3

Trừ $1215$ khỏi $1458$ .

$\frac{243}{20}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{243}{20}$

Dạng thập phân:

$12.15$

Dạng hỗn số:

$12 \frac{3}{20}$

Bước 10