Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{2} \frac{x}{{(1 + 2 x^{2})}^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 1 + 2 x^{2}$ . Sau đó $d u = 4 x d x$ , nên $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 1 + 2 x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $1 + 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x^{2}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + 2 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Bước 1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 (2 x)$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $2$ .

$0 + 4 x$

Bước 1.1.4

Cộng $0$ và $4 x$ .

$4 x$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 1 + 2 x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0^{2}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

Bước 1.3.1.2

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Bước 1.3.2

Cộng $1$ và $0$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 1 + 2 x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 2^{2}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Nhân $2$ với $2^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1.1

Nhân $2$ với $2^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{1} \cdot 2^{2}$

Bước 1.5.1.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$u_{upper} = 1 + 2^{1 + 2}$

Bước 1.5.1.1.2

Cộng $1$ và $2$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

Bước 1.5.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Bước 1.5.2

Cộng $1$ và $8$ .

$u_{upper} = 9$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{1}{u^{2}}$ với $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2} \cdot 4} d u$

Bước 2.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $u^{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{4 u^{2}} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển $u^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Bước 4.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{2 \cdot - 1} d u$

Bước 4.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{- 2} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 2}$ đối với $u$ là $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} - u^{- 1}]_{1}^{9}$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $- u^{- 1}$ tại $9$ và tại $1$ .

$\frac{1}{4} ((- 9^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + 1^{- 1})$

Bước 6.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + 1)$

Bước 6.2.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + \frac{9}{9})$

Bước 6.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 1 + 9}{9}$

Bước 6.2.5

Cộng $- 1$ và $9$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{8}{9}$

Bước 6.2.6

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{4 \cdot 9}$

Bước 6.2.7

Nhân $4$ với $9$ .

$\frac{8}{36}$

Bước 6.2.8

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $36$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.8.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$\frac{4 (2)}{36}$

Bước 6.2.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.8.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $36$ .

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 9}$

Bước 6.2.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 9}$

Bước 6.2.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{9}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2}{9}$

Dạng thập phân:

$0.\overline{2}$

Bước 8