Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{7 x^{3} - 5 x^{2} + 1}{x^{4} - 3}$

Bước 1

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7 x^{3}}{x^{4}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3}{x^{4}}}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{3}$ và $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $7 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 7}{x^{4}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3}{x^{4}}}$

Bước 2.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.1

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 7}{x^{3} x} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3}{x^{4}}}$

Bước 2.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 7}{x^{3} x} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3}{x^{4}}}$

Bước 2.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3}{x^{4}}}$

Bước 2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- 5 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 5}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3}{x^{4}}}$

Bước 2.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 5}{x^{2} x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3}{x^{4}}}$

Bước 2.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 5}{x^{2} x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3}{x^{4}}}$

Bước 2.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x} + \frac{- 5}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3}{x^{4}}}$

Bước 2.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x} - \frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3}{x^{4}}}$

Bước 2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x} - \frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3}{x^{4}}}$

Bước 2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x} - \frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}}{1 + \frac{- 3}{x^{4}}}$

Bước 2.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x} - \frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}}{1 - \frac{3}{x^{4}}}$

Bước 2.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{7}{x} - \frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x^{4}}}$

Bước 2.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{7}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x^{4}}}$

Bước 2.5

Chuyển số hạng $7$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x^{4}}}$

Bước 3

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{7 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x^{4}}}$

Bước 4

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{7 \cdot 0 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x^{4}}}$

Bước 5

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{7 \cdot 0 - 5 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x^{4}}}$

Bước 6

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{4}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{7 \cdot 0 - 5 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x^{4}}}$

Bước 7

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{7 \cdot 0 - 5 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{4}}}$

Bước 7.2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{7 \cdot 0 - 5 \cdot 0 + 0}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{4}}}$

Bước 7.3

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{7 \cdot 0 - 5 \cdot 0 + 0}{1 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}$

Bước 8

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{4}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{7 \cdot 0 - 5 \cdot 0 + 0}{1 - 3 \cdot 0}$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Nhân $7$ với $0$ .

$\frac{0 - 5 \cdot 0 + 0}{1 - 3 \cdot 0}$

Bước 9.1.2

Nhân $- 5$ với $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{1 - 3 \cdot 0}$

Bước 9.1.3

Cộng $0 + 0$ và $0$ .

$\frac{0 + 0}{1 - 3 \cdot 0}$

Bước 9.1.4

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{0}{1 - 3 \cdot 0}$

Bước 9.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Nhân $- 3$ với $0$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Bước 9.2.2

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{0}{1}$

Bước 9.3

Chia $0$ cho $1$ .

$0$