Giải tích Ví dụ

$\int \frac{2 e^{\frac{1}{x^{2}}}}{3 x^{3}} d x$

Bước 1

Vì $\frac{2}{3}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{2}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{2}{3} \int \frac{e^{\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = \frac{1}{x^{2}}$ . Sau đó $d u = - \frac{2}{x^{3}} d x$ , nên $1 d u = - \frac{2}{x^{3}} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = \frac{1}{x^{2}}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Bước 2.1.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Bước 2.1.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Bước 2.1.2.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 2$ .

$- 2 x^{- 3}$

Bước 2.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}}$

Bước 2.1.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Bước 2.1.4.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{x^{3}}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{2}{3} \int - \frac{1}{2} e^{u} d u$

Bước 3

Vì $- \frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- \frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $\frac{2}{3}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Bước 4.2

Nhân $3$ với $2$ .

$- \frac{2}{6} \int e^{u} d u$

Bước 4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \frac{2 (1)}{6} \int e^{u} d u$

Bước 4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int e^{u} d u$

Bước 4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int e^{u} d u$

Bước 4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Bước 5

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Bước 6

Rút gọn.

$- \frac{1}{3} e^{u} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{1}{3} e^{\frac{1}{x^{2}}} + C$