Giải tích Ví dụ

$\frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$

Bước 1

Viết $\frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)} d x$

Bước 4

Giả sử $u = \cos (x)$ . Sau đó $d u = - \sin (x) d x$ , nên $- d u = \sin (x) d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = \cos (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 4.1.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u^{5}} d u$

Bước 5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int - \frac{1}{u^{5}} d u$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{1}{u^{5}} d u$

Bước 7

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển $u^{5}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- \int {(u^{5})}^{- 1} d u$

Bước 7.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{5})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{5 \cdot - 1} d u$

Bước 7.2.2

Nhân $5$ với $- 1$ .

$- \int u^{- 5} d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 5}$ đối với $u$ là $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$- (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Kết hợp $u^{- 4}$ và $\frac{1}{4}$ .

$- (- \frac{u^{- 4}}{4} + C)$

Bước 9.1.2

Di chuyển $u^{- 4}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- \frac{1}{4 u^{4}} + C)$

Bước 9.2

Rút gọn.

$- - \frac{1}{4 u^{4}} + C$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{1}{4 u^{4}} + C$

Bước 9.3.2

Nhân $\frac{1}{4 u^{4}}$ với $1$ .

$\frac{1}{4 u^{4}} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$\frac{1}{4 \cos^{4} (x)} + C$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân với $1$ .

$\frac{1}{4 (\cos^{4} (x) \cdot 1)} + C$

Bước 11.2

Tách các phân số.

$\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{4} (x)} + C$

Bước 11.3

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ sang $\sec^{4} (x)$ .

$\frac{1}{4 \cdot (1)} \sec^{4} (x) + C$

Bước 11.4

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

Bước 11.5

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $\sec^{4} (x)$ .

$\frac{\sec^{4} (x)}{4} + C$

Bước 11.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

Bước 12

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{5} (x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$