Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{(\sin (2 x))}{\cos^{2} (2 x)} d x$

Bước 1

Giả sử $u_{2} = \cos (2 x)$ . Sau đó $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{2} = \cos (2 x)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.2.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.1.3.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Bước 1.1.3.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{2} = \cos (2 x)$ .

$u_{lower} = \cos (2 \cdot 0)$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Bước 1.3.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{2} = \cos (2 x)$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{6})$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 (3)})$

Bước 1.5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Bước 1.5.1.3

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

Bước 1.5.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{{u_{2}}^{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Bước 2.2

Nhân $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 2} d u_{2}$

Bước 2.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${u_{2}}^{2}$ .

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Bước 5

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển ${u_{2}}^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Bước 5.2

Nhân các số mũ trong ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Bước 5.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{- 2}$ đối với $u_{2}$ là $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2} - {u_{2}}^{- 1}]_{1}^{\frac{1}{2}}$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $- {u_{2}}^{- 1}$ tại $\frac{1}{2}$ và tại $1$ .

$- \frac{1}{2} ((- {(\frac{1}{2})}^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Thay đổi dấu của số mũ bằng cách viết lại cơ số ở dạng nghịch đảo của nó.

$- \frac{1}{2} (- 1 \cdot 2 + 1^{- 1})$

Bước 7.2.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- \frac{1}{2} (- 2 + 1^{- 1})$

Bước 7.2.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- \frac{1}{2} (- 2 + 1)$

Bước 7.2.4

Cộng $- 2$ và $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$

Bước 7.2.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

Bước 7.2.6

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{2}$

Dạng thập phân:

$0.5$