Giải tích Ví dụ

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{3 + \sin (x)} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 3 + \sin (x)$ . Sau đó $d u = \cos (x) d x$ , nên $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 3 + \sin (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $3 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 + \sin (x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 + \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 1.1.2.2

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 1.1.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

Bước 1.1.4

Cộng $0$ và $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 3 + \sin (x)$ .

$u_{lower} = 3 + \sin (\frac{π}{6})$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{6})$ là $\frac{1}{2}$ .

$u_{lower} = 3 + \frac{1}{2}$

Bước 1.3.2

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$u_{lower} = 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Bước 1.3.3

Kết hợp $3$ và $\frac{2}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

Bước 1.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2}$

Bước 1.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1

Nhân $3$ với $2$ .

$u_{lower} = \frac{6 + 1}{2}$

Bước 1.3.5.2

Cộng $6$ và $1$ .

$u_{lower} = \frac{7}{2}$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 3 + \sin (x)$ .

$u_{upper} = 3 + \sin (\frac{π}{2})$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

Bước 1.5.2

Cộng $3$ và $1$ .

$u_{upper} = 4$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = \frac{7}{2}$

$u_{upper} = 4$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{\frac{7}{2}}^{4} \frac{1}{u} d u$

Bước 2

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{\frac{7}{2}}^{4}$

Bước 3

Tính $\ln (| u |)$ tại $4$ và tại $\frac{7}{2}$ .

$\ln (| 4 |) - \ln (| \frac{7}{2} |)$

Bước 4

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 4 |}{| \frac{7}{2} |})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $4$ là $4$ .

$\ln (\frac{4}{| \frac{7}{2} |})$

Bước 5.2

$\frac{7}{2}$ xấp xỉ $3.5$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\ln (\frac{4}{\frac{7}{2}})$

Bước 5.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\ln (4 (\frac{2}{7}))$

Bước 5.4

Nhân $4 (\frac{2}{7})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Kết hợp $4$ và $\frac{2}{7}$ .

$\ln (\frac{4 \cdot 2}{7})$

Bước 5.4.2

Nhân $4$ với $2$ .

$\ln (\frac{8}{7})$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\ln (\frac{8}{7})$

Dạng thập phân:

$0.13353139 \dots$