Giải tích Ví dụ

$\int 4 x^{2} {(4 x - 5)}^{2} d x$

Bước 1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int x^{2} {(4 x - 5)}^{2} d x$

Bước 2

Khai triển $x^{2} {(4 x - 5)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại ${(4 x - 5)}^{2}$ ở dạng $(4 x - 5) (4 x - 5)$ .

$4 \int x^{2} ((4 x - 5) (4 x - 5)) d x$

Bước 2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 \int x^{2} (4 x (4 x - 5) - 5 (4 x - 5)) d x$

Bước 2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 \int x^{2} (4 x (4 x) + 4 x \cdot - 5 - 5 (4 x - 5)) d x$

Bước 2.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 \int x^{2} (4 x (4 x) + 4 x \cdot - 5 - 5 (4 x) - 5 \cdot - 5) d x$

Bước 2.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 \int x^{2} (4 x (4 x) + 4 x \cdot - 5) + x^{2} (- 5 (4 x) - 5 \cdot - 5) d x$

Bước 2.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 \int x^{2} (4 x (4 x)) + x^{2} (4 x \cdot - 5) + x^{2} (- 5 (4 x) - 5 \cdot - 5) d x$

Bước 2.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 \int x^{2} (4 x (4 x)) + x^{2} (4 x \cdot - 5) + x^{2} (- 5 (4 x)) + x^{2} (- 5 \cdot - 5) d x$

Bước 2.8

Di chuyển $x$ .

$4 \int x^{2} (4 \cdot 4 x \cdot x) + x^{2} (4 x \cdot - 5) + x^{2} (- 5 (4 x)) + x^{2} (- 5 \cdot - 5) d x$

Bước 2.9

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$4 \int x^{2} (4 \cdot 4 x) x + x^{2} (4 x \cdot - 5) + x^{2} (- 5 (4 x)) + x^{2} (- 5 \cdot - 5) d x$

Bước 2.10

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$4 \int x^{2} (4 \cdot 4) x \cdot x + x^{2} (4 x \cdot - 5) + x^{2} (- 5 (4 x)) + x^{2} (- 5 \cdot - 5) d x$

Bước 2.11

Di chuyển $x^{2}$ .

$4 \int 4 \cdot 4 x^{2} x \cdot x + x^{2} (4 x \cdot - 5) + x^{2} (- 5 (4 x)) + x^{2} (- 5 \cdot - 5) d x$

Bước 2.12

Di chuyển $x$ .

$4 \int 4 \cdot 4 x^{2} x \cdot x + x^{2} (4 \cdot - 5 x) + x^{2} (- 5 (4 x)) + x^{2} (- 5 \cdot - 5) d x$

Bước 2.13

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$4 \int 4 \cdot 4 x^{2} x \cdot x + x^{2} (4 \cdot - 5) x + x^{2} (- 5 (4 x)) + x^{2} (- 5 \cdot - 5) d x$

Bước 2.14

Di chuyển $x^{2}$ .

$4 \int 4 \cdot 4 x^{2} x \cdot x + 4 \cdot - 5 x^{2} x + x^{2} (- 5 (4 x)) + x^{2} (- 5 \cdot - 5) d x$

Bước 2.15

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$4 \int 4 \cdot 4 x^{2} x \cdot x + 4 \cdot - 5 x^{2} x + x^{2} (- 5 \cdot 4) x + x^{2} (- 5 \cdot - 5) d x$

Bước 2.16

Di chuyển $x^{2}$ .

$4 \int 4 \cdot 4 x^{2} x \cdot x + 4 \cdot - 5 x^{2} x - 5 \cdot 4 x^{2} x + x^{2} (- 5 \cdot - 5) d x$

Bước 2.17

Di chuyển $x^{2}$ .

$4 \int 4 \cdot 4 x^{2} x \cdot x + 4 \cdot - 5 x^{2} x - 5 \cdot 4 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

Bước 2.18

Nhân $4$ với $4$ .

$4 \int 16 x^{2} x \cdot x + 4 \cdot - 5 x^{2} x - 5 \cdot 4 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

Bước 2.19

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$4 \int 16 (x^{2} x^{1}) x + 4 \cdot - 5 x^{2} x - 5 \cdot 4 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

Bước 2.20

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 \int 16 x^{2 + 1} x + 4 \cdot - 5 x^{2} x - 5 \cdot 4 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

Bước 2.21

Cộng $2$ và $1$ .

$4 \int 16 x^{3} x + 4 \cdot - 5 x^{2} x - 5 \cdot 4 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

Bước 2.22

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$4 \int 16 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot - 5 x^{2} x - 5 \cdot 4 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

Bước 2.23

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 \int 16 x^{3 + 1} + 4 \cdot - 5 x^{2} x - 5 \cdot 4 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

Bước 2.24

Cộng $3$ và $1$ .

$4 \int 16 x^{4} + 4 \cdot - 5 x^{2} x - 5 \cdot 4 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

Bước 2.25

Nhân $4$ với $- 5$ .

$4 \int 16 x^{4} - 20 x^{2} x - 5 \cdot 4 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

Bước 2.26

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$4 \int 16 x^{4} - 20 (x^{2} x^{1}) - 5 \cdot 4 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

Bước 2.27

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 \int 16 x^{4} - 20 x^{2 + 1} - 5 \cdot 4 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

Bước 2.28

Cộng $2$ và $1$ .

$4 \int 16 x^{4} - 20 x^{3} - 5 \cdot 4 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

Bước 2.29

Nhân $- 5$ với $4$ .

$4 \int 16 x^{4} - 20 x^{3} - 20 x^{2} x - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

Bước 2.30

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$4 \int 16 x^{4} - 20 x^{3} - 20 (x^{2} x^{1}) - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

Bước 2.31

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 \int 16 x^{4} - 20 x^{3} - 20 x^{2 + 1} - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

Bước 2.32

Cộng $2$ và $1$ .

$4 \int 16 x^{4} - 20 x^{3} - 20 x^{3} - 5 \cdot - 5 x^{2} d x$

Bước 2.33

Nhân $- 5$ với $- 5$ .

$4 \int 16 x^{4} - 20 x^{3} - 20 x^{3} + 25 x^{2} d x$

Bước 2.34

Trừ $20 x^{3}$ khỏi $- 20 x^{3}$ .

$4 \int 16 x^{4} - 40 x^{3} + 25 x^{2} d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$4 (\int 16 x^{4} d x + \int - 40 x^{3} d x + \int 25 x^{2} d x)$

Bước 4

Vì $16$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $16$ ra khỏi tích phân.

$4 (16 \int x^{4} d x + \int - 40 x^{3} d x + \int 25 x^{2} d x)$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$4 (16 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 40 x^{3} d x + \int 25 x^{2} d x)$

Bước 6

Vì $- 40$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 40$ ra khỏi tích phân.

$4 (16 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 40 \int x^{3} d x + \int 25 x^{2} d x)$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (16 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 40 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 25 x^{2} d x)$

Bước 8

Vì $25$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $25$ ra khỏi tích phân.

$4 (16 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 40 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 25 \int x^{2} d x)$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (16 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 40 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 25 (\frac{1}{3} x^{3} + C))$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn.

$4 (\frac{16 x^{5}}{5} - 10 x^{4} + \frac{25 x^{3}}{3}) + C$

Bước 10.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$4 (\frac{16}{5} x^{5} - 10 x^{4} + \frac{25}{3} x^{3}) + C$