Giải tích Ví dụ

$\frac{3 + x}{2 - 5 x^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 3 + x$ và $g (x) = 2 - 5 x^{2}$ .

$\frac{(2 - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 + x] - (3 + x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x^{2}]}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 - 5 x^{2}) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]) - (3 + x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x^{2}]}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Bước 2.2

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(2 - 5 x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (3 + x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x^{2}]}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - (3 + x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x^{2}]}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(2 - 5 x^{2}) \cdot 1 - (3 + x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x^{2}]}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Bước 2.5

Nhân $2 - 5 x^{2}$ với $1$ .

$\frac{2 - 5 x^{2} - (3 + x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x^{2}]}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Bước 2.6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 - 5 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$\frac{2 - 5 x^{2} - (3 + x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}])}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Bước 2.7

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{2 - 5 x^{2} - (3 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}])}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Bước 2.8

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$\frac{2 - 5 x^{2} - (3 + x) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Bước 2.9

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 x^{2}$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 - 5 x^{2} - (3 + x) (- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Bước 2.10

Nhân $- 5$ với $- 1$ .

$\frac{2 - 5 x^{2} + 5 (3 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Bước 2.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{2 - 5 x^{2} + 5 (3 + x) (2 x)}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Bước 2.12

Nhân $2$ với $5$ .

$\frac{2 - 5 x^{2} + 10 (3 + x) x}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 - 5 x^{2} + (10 \cdot 3 + 10 x) x}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 - 5 x^{2} + 10 \cdot 3 x + 10 x \cdot x}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Bước 3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Nhân $10$ với $3$ .

$\frac{2 - 5 x^{2} + 30 x + 10 x \cdot x}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Bước 3.3.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{2 - 5 x^{2} + 30 x + 10 (x \cdot x)}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Bước 3.3.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{2 - 5 x^{2} + 30 x + 10 x^{2}}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Bước 3.3.2

Cộng $- 5 x^{2}$ và $10 x^{2}$ .

$\frac{2 + 5 x^{2} + 30 x}{{(2 - 5 x^{2})}^{2}}$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{5 x^{2} + 30 x + 2}{{(- 5 x^{2} + 2)}^{2}}$