Giải tích Ví dụ

$2 \sin^{2} (x) + 1$

Bước 1

Viết $2 \sin^{2} (x) + 1$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 2 \sin^{2} (x) + 1$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 2 \sin^{2} (x) + 1 d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 2 \sin^{2} (x) d x + \int d x$

Bước 5

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \sin^{2} (x) d x + \int d x$

Bước 6

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\sin^{2} (x)$ ở dạng $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$2 \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x + \int d x$

Bước 7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x) + \int d x$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

Bước 8.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

Bước 8.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

Bước 8.3

Nhân $\int 1 - \cos (2 x) d x$ với $1$ .

$\int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

Bước 9

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int d x + \int - \cos (2 x) d x + \int d x$

Bước 10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$x + C + \int - \cos (2 x) d x + \int d x$

Bước 11

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x + C - \int \cos (2 x) d x + \int d x$

Bước 12

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 12.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 12.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 12.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 12.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u + \int d x$

Bước 13

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u + \int d x$

Bước 14

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u) + \int d x$

Bước 15

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C) + \int d x$

Bước 16

Áp dụng quy tắc hằng số.

$x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C) + x + C$

Bước 17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Cộng $x$ và $x$ .

$C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C) + 2 x + C$

Bước 17.2

Rút gọn.

$- \frac{1}{2} \sin (u) + 2 x + C$

Bước 18

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$- \frac{1}{2} \sin (2 x) + 2 x + C$

Bước 19

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 \sin^{2} (x) + 1$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} \sin (2 x) + 2 x + C$