Giải tích Ví dụ

$\int_{- 3}^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + x + 6) d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{- 3}^{2} \frac{1}{2} x^{2} + x + 6 d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 3}^{2} \frac{1}{2} x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{2} x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2} + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2} + 6 x]_{- 3}^{2}$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2}$ và $6 x]_{- 3}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + 6 x]_{- 3}^{2}$

Bước 7.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Tính $\frac{1}{3} x^{3}$ tại $2$ và tại $- 3$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + 6 x]_{- 3}^{2}$

Bước 7.2.2

Tính $\frac{1}{2} x^{2} + 6 x$ tại $2$ và tại $- 3$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Bước 7.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Bước 7.2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $8$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Bước 7.2.3.3

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 27) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Bước 7.2.3.4

Nhân $- 27$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + 27 (\frac{1}{3})) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Bước 7.2.3.5

Kết hợp $27$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{27}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Bước 7.2.3.6

Triệt tiêu thừa số chung của $27$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $27$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Bước 7.2.3.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3 (1)}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Bước 7.2.3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Bước 7.2.3.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{9}{1}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Bước 7.2.3.6.2.4

Chia $9$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + 9) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Bước 7.2.3.7

Để viết $9$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Bước 7.2.3.8

Kết hợp $9$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Bước 7.2.3.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8 + 9 \cdot 3}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Bước 7.2.3.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.10.1

Nhân $9$ với $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8 + 27}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Bước 7.2.3.10.2

Cộng $8$ và $27$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{35}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Bước 7.2.3.11

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{35}{3}$ .

$\frac{35}{2 \cdot 3} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Bước 7.2.3.12

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{35}{6} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Bước 7.2.3.13

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{35}{6} + \frac{1}{2} \cdot 4 + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Bước 7.2.3.14

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$\frac{35}{6} + \frac{4}{2} + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Bước 7.2.3.15

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.15.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{35}{6} + \frac{2 \cdot 2}{2} + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Bước 7.2.3.15.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.15.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{35}{6} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Bước 7.2.3.15.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{35}{6} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Bước 7.2.3.15.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{35}{6} + \frac{2}{1} + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Bước 7.2.3.15.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$\frac{35}{6} + 2 + 6 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Bước 7.2.3.16

Nhân $6$ với $2$ .

$\frac{35}{6} + 2 + 12 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Bước 7.2.3.17

Cộng $2$ và $12$ .

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3)$

Bước 7.2.3.18

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{1}{2} \cdot 9 + 6 \cdot - 3)$

Bước 7.2.3.19

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $9$ .

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{9}{2} + 6 \cdot - 3)$

Bước 7.2.3.20

Nhân $6$ với $- 3$ .

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{9}{2} - 18)$

Bước 7.2.3.21

Để viết $- 18$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{9}{2} - 18 \cdot \frac{2}{2})$

Bước 7.2.3.22

Kết hợp $- 18$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35}{6} + 14 - (\frac{9}{2} + \frac{- 18 \cdot 2}{2})$

Bước 7.2.3.23

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{35}{6} + 14 - \frac{9 - 18 \cdot 2}{2}$

Bước 7.2.3.24

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.24.1

Nhân $- 18$ với $2$ .

$\frac{35}{6} + 14 - \frac{9 - 36}{2}$

Bước 7.2.3.24.2

Trừ $36$ khỏi $9$ .

$\frac{35}{6} + 14 - \frac{- 27}{2}$

Bước 7.2.3.25

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{35}{6} + 14 - - \frac{27}{2}$

Bước 7.2.3.26

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{35}{6} + 14 + 1 (\frac{27}{2})$

Bước 7.2.3.27

Nhân $\frac{27}{2}$ với $1$ .

$\frac{35}{6} + 14 + \frac{27}{2}$

Bước 7.2.3.28

Để viết $14$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35}{6} + 14 \cdot \frac{2}{2} + \frac{27}{2}$

Bước 7.2.3.29

Kết hợp $14$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35}{6} + \frac{14 \cdot 2}{2} + \frac{27}{2}$

Bước 7.2.3.30

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{35}{6} + \frac{14 \cdot 2 + 27}{2}$

Bước 7.2.3.31

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.31.1

Nhân $14$ với $2$ .

$\frac{35}{6} + \frac{28 + 27}{2}$

Bước 7.2.3.31.2

Cộng $28$ và $27$ .

$\frac{35}{6} + \frac{55}{2}$

Bước 7.2.3.32

Để viết $\frac{55}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{6} + \frac{55}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 7.2.3.33

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $6$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.33.1

Nhân $\frac{55}{2}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{6} + \frac{55 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Bước 7.2.3.33.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{35}{6} + \frac{55 \cdot 3}{6}$

Bước 7.2.3.34

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{35 + 55 \cdot 3}{6}$

Bước 7.2.3.35

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.35.1

Nhân $55$ với $3$ .

$\frac{35 + 165}{6}$

Bước 7.2.3.35.2

Cộng $35$ và $165$ .

$\frac{200}{6}$

Bước 7.2.3.36

Triệt tiêu thừa số chung của $200$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.36.1

Đưa $2$ ra ngoài $200$ .

$\frac{2 (100)}{6}$

Bước 7.2.3.36.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.36.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}$

Bước 7.2.3.36.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}$

Bước 7.2.3.36.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{100}{3}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{100}{3}$

Dạng thập phân:

$33.\overline{3}$

Dạng hỗn số:

$33 \frac{1}{3}$

Bước 9