Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sqrt{8 x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $\frac{d}{d x} [\sqrt{8 x}]$ ở dạng $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Viết lại $8 x$ ở dạng $2^{2} \cdot (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (2) x}]$

Bước 1.1.1.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot 2 x}]$

Bước 1.1.1.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot (2 x)}]$

Bước 1.1.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2 x}]$

Bước 1.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2 x}$ ở dạng ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Bước 1.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.7.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.7.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.8

Vì $2^{\frac{3}{2}}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 1.10

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 1.11

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 1.12

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 1.13

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.13.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 1.13.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 1.14

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Bước 1.15

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{3}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 1.16

Kết hợp $2^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 1.17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.17.1

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.17.2

Di chuyển $2^{1}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{- 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.18

Nhân $2^{\frac{3}{2}}$ với $2^{- 1}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.18.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2^{\frac{3}{2} - 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.18.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.18.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.18.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.18.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.18.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{2^{\frac{3 - 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.18.5.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$f' (x) = \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $2^{\frac{1}{2}}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ đối với $x$ là $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Bước 2.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Bước 2.2.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Bước 2.2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Bước 2.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 2.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 2.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Bước 2.7.2

Trừ $2$ khỏi $- 1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Bước 2.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Bước 2.9

Kết hợp $x^{- \frac{3}{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Bước 2.10

Kết hợp $2^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Bước 2.11

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Di chuyển $2^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Bước 2.11.2

Di chuyển $x^{- \frac{3}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.12

Nhân $2$ với $2^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.1

Nhân $2$ với $2^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.12.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.12.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- \frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.12.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.12.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$