Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x$

Bước 1

Giả sử $x = 2 \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = 2 \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $2 \cos (t)$ dương.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.1.3

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.4

Đưa $4$ ra ngoài $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 \cos^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.6

Viết lại $4 \cos^{2} (t)$ ở dạng ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2 \cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(2 \sin (t))}^{2} d t$

Bước 2.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(2 (\sin (t)))}^{2} d t$

Bước 2.2.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 (\sin (t))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 2^{2} \sin^{2} (t) d t$

Bước 2.2.2.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 4 \sin^{2} (t) d t$

Bước 3

Vì $4$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin^{2} (t) d t$

Bước 4

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\sin^{2} (t)$ ở dạng $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$4 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$\frac{4}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Bước 6.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Bước 6.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Bước 6.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{1} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Bước 6.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$2 (\int_{0}^{\frac{π}{6}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \cos (2 t) d t)$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \cos (2 t) d t)$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (2 t) d t)$

Bước 10

Giả sử $u = 2 t$ . Sau đó $d u = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Hãy đặt $u = 2 t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Tính đạo hàm $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 10.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 10.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 10.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 10.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Bước 10.3

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 10.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{6}$

Bước 10.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Bước 10.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Bước 10.5.3

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Bước 10.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Bước 10.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 11

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 12

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) d u))$

Bước 13

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Tính $t$ tại $\frac{π}{6}$ và tại $0$ .

$2 ((\frac{π}{6}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Bước 14.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Tính $\sin (u)$ tại $\frac{π}{3}$ và tại $0$ .

$2 ((\frac{π}{6}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (0)))$

Bước 14.2.2

Cộng $\frac{π}{6}$ và $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (0)))$

Bước 14.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (0)))$

Bước 14.3.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0))$

Bước 14.3.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 0))$

Bước 14.3.4

Cộng $\frac{\sqrt{3}}{2}$ và $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 14.3.5

Nhân $\frac{\sqrt{3}}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2})$

Bước 14.3.6

Nhân $2$ với $2$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4})$

Bước 14.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \frac{π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Bước 14.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$2 \frac{π}{2 (3)} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Bước 14.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{π}{2 \cdot 3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Bước 14.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Bước 14.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ vào tử số.

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{4}$

Bước 14.4.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2 (2)}$

Bước 14.4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Bước 14.4.3.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{π}{3} + \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Bước 14.4.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 15

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Dạng thập phân:

$0.18117214 \dots$