Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{3} \frac{{(1 + \ln (x))}^{3}}{x} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 1 + \ln (x)$ . Sau đó $d u = \frac{1}{x} d x$ , nên $x d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 1 + \ln (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $1 + \ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 1.1.3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{1}{x}$

Bước 1.1.4

Cộng $0$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 1 + \ln (x)$ .

$u_{lower} = 1 + \ln (1)$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Bước 1.3.2

Cộng $1$ và $0$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 1 + \ln (x)$ .

$u_{upper} = 1 + \ln (3)$

Bước 1.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 + \ln (3)$

Bước 1.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{1 + \ln (3)} u^{3} d u$

Bước 2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{1 + \ln (3)}$

Bước 3

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính $\frac{1}{4} u^{4}$ tại $1 + \ln (3)$ và tại $1$ .

$(\frac{1}{4} {(1 + \ln (3))}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và ${(1 + \ln (3))}^{4}$ .

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4}$

Bước 3.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1$

Bước 3.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4}$

Bước 3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4} - 1}{4}$

Bước 4

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4} - 1}{4}$

Dạng thập phân:

$4.59918613 \dots$