Giải tích Ví dụ

$y = 3 x^{3} - x - 3$

Bước 1

Viết $y = 3 x^{3} - x - 3$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 3 x^{3} - x - 3$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{3} - x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{3}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.2.3

Nhân $3$ với $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$9 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$9 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$9 x^{2} - 1 + 0$

Bước 2.4.2

Cộng $9 x^{2} - 1$ và $0$ .

$9 x^{2} - 1$

Bước 3

Đặt đạo hàm bậc nhất bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$9 x^{2} = 1$

Bước 3.2

Chia mỗi số hạng trong $9 x^{2} = 1$ cho $9$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $9 x^{2} = 1$ cho $9$ .

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{1}{9}$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{1}{9}$

Bước 3.2.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{9}$

Bước 3.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

Bước 3.4

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{1}{9}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Viết lại $\sqrt{\frac{1}{9}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Bước 3.4.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{9}}$

Bước 3.4.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Bước 3.4.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm \frac{1}{3}$

Bước 3.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \frac{1}{3}$

Bước 3.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \frac{1}{3}$

Bước 3.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

Bước 4

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, \infty)$

Bước 5

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 3$ , từ khoảng $(- \infty, - \frac{1}{3})$ trong đạo hàm đầu tiên $9 x^{2} - 1$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 3$ trong biểu thức.

$f' (- 3) = 9 {(- 3)}^{2} - 1$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 3) = 9 \cdot 9 - 1$

Bước 5.2.1.2

Nhân $9$ với $9$ .

$f' (- 3) = 81 - 1$

Bước 5.2.2

Trừ $1$ khỏi $81$ .

$f' (- 3) = 80$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $80$ .

$80$

Bước 6

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $0$ , từ khoảng $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ trong đạo hàm đầu tiên $9 x^{2} - 1$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f' (0) = 9 {(0)}^{2} - 1$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f' (0) = 9 \cdot 0 - 1$

Bước 6.2.1.2

Nhân $9$ với $0$ .

$f' (0) = 0 - 1$

Bước 6.2.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$f' (0) = - 1$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 1$ .

$- 1$

Bước 7

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $3$ , từ khoảng $(\frac{1}{3}, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $9 x^{2} - 1$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f' (3) = 9 {(3)}^{2} - 1$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (3) = 9 \cdot 9 - 1$

Bước 7.2.1.2

Nhân $9$ với $9$ .

$f' (3) = 81 - 1$

Bước 7.2.2

Trừ $1$ khỏi $81$ .

$f' (3) = 80$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $80$ .

$80$

Bước 8

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm xung quanh $x = - \frac{1}{3}$ , nên có một điểm ngoặt tại $x = - \frac{1}{3}$ .

Bước 9

Tìm tọa độ y của $- \frac{1}{3}$ để tìm điểm ngoặt.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tìm $f (- \frac{1}{3})$ để tìm tọa độ y của $- \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $- \frac{1}{3}$ trong biểu thức.

$f (- \frac{1}{3}) = 3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Bước 9.1.2

Rút gọn $3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Bước 9.1.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{1}{3}$ .

$3 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Bước 9.1.2.2.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{3}$ .

$3 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Bước 9.1.2.2.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$3 (- \frac{1^{3}}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Bước 9.1.2.2.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$3 (- \frac{1}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Bước 9.1.2.2.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$3 (- \frac{1}{27}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Bước 9.1.2.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.2.5.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{27}$ vào tử số.

$3 (\frac{- 1}{27}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

Bước 9.1.2.2.5.2

Đưa $3$ ra ngoài $27$ .

$3 \frac{- 1}{3 (9)} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Bước 9.1.2.2.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{- 1}{3 \cdot 9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Bước 9.1.2.2.5.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Bước 9.1.2.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

Bước 9.1.2.2.7

Nhân $- (- \frac{1}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.2.7.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{1}{9} + 1 (\frac{1}{3}) - 3$

Bước 9.1.2.2.7.2

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{1}{3} - 3$

Bước 9.1.2.3

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.3.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3} - 3$

Bước 9.1.2.3.2

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} - 3$

Bước 9.1.2.3.3

Viết $- 3$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1}$

Bước 9.1.2.3.4

Nhân $\frac{- 3}{1}$ với $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Bước 9.1.2.3.5

Nhân $\frac{- 3}{1}$ với $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Bước 9.1.2.3.6

Nhân $3$ với $3$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{9} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Bước 9.1.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 1 + 3 - 3 \cdot 9}{9}$

Bước 9.1.2.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.5.1

Nhân $- 3$ với $9$ .

$\frac{- 1 + 3 - 27}{9}$

Bước 9.1.2.5.2

Cộng $- 1$ và $3$ .

$\frac{2 - 27}{9}$

Bước 9.1.2.5.3

Trừ $27$ khỏi $2$ .

$\frac{- 25}{9}$

Bước 9.1.2.5.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{25}{9}$

Bước 9.2

Viết các tọa độ $x$ và $y$ ở dạng điểm.

$(- \frac{1}{3}, - \frac{25}{9})$

Bước 10

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương xung quanh $x = \frac{1}{3}$ , nên có một điểm ngoặt tại $x = \frac{1}{3}$ .

Bước 11

Tìm tọa độ y của $\frac{1}{3}$ để tìm điểm ngoặt.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tìm $f (\frac{1}{3})$ để tìm tọa độ y của $\frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{1}{3}$ trong biểu thức.

$f (\frac{1}{3}) = 3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$

Bước 11.1.2

Rút gọn $3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$

Bước 11.1.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.2.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{3}$ .

$3 \frac{1^{3}}{3^{3}} - (\frac{1}{3}) - 3$

Bước 11.1.2.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$3 \frac{1}{3^{3}} - (\frac{1}{3}) - 3$

Bước 11.1.2.2.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$3 (\frac{1}{27}) - (\frac{1}{3}) - 3$

Bước 11.1.2.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.2.2.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $27$ .

$3 \frac{1}{3 (9)} - (\frac{1}{3}) - 3$

Bước 11.1.2.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{1}{3 \cdot 9} - (\frac{1}{3}) - 3$

Bước 11.1.2.2.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{9} - (\frac{1}{3}) - 3$

$\frac{1}{9} - \frac{1}{3} - 3$

Bước 11.1.2.3

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.2.3.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3}) - 3$

Bước 11.1.2.3.2

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} - 3$

Bước 11.1.2.3.3

Viết $- 3$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1}$

Bước 11.1.2.3.4

Nhân $\frac{- 3}{1}$ với $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Bước 11.1.2.3.5

Nhân $\frac{- 3}{1}$ với $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Bước 11.1.2.3.6

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{9} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Bước 11.1.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 - 3 - 3 \cdot 9}{9}$

Bước 11.1.2.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.2.5.1

Nhân $- 3$ với $9$ .

$\frac{1 - 3 - 27}{9}$

Bước 11.1.2.5.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{- 2 - 27}{9}$

Bước 11.1.2.5.3

Trừ $27$ khỏi $- 2$ .

$\frac{- 29}{9}$

Bước 11.1.2.5.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{29}{9}$

Bước 11.2

Viết các tọa độ $x$ và $y$ ở dạng điểm.

$(\frac{1}{3}, - \frac{29}{9})$

Bước 12

Đây là những điểm ngoặt.

$(- \frac{1}{3}, - \frac{25}{9})$

$(\frac{1}{3}, - \frac{29}{9})$

Bước 13