Giải tích Ví dụ

$- x^{3} y + x^{2} = 4 y^{2}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (- x^{3} y + x^{2}) = \frac{d}{d x} (4 y^{2})$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- x^{3} y + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{3} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{3} y$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

$- (x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- (x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- (x^{3} y' + y (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.2.5

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $y$ .

$- (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + 2 x$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- (x^{3} y') - (3 y x^{2}) + 2 x$

Bước 2.4.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- x^{3} y' - 3 y x^{2} + 2 x$

Bước 2.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- x^{3} y' - 3 x^{2} y + 2 x$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 y^{2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.3

Nhân $2$ với $4$ .

$8 (y \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.4

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$8 y y'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- x^{3} y' - 3 x^{2} y + 2 x = 8 y y'$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Trừ $8 y y'$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x^{3} y' - 3 x^{2} y + 2 x - 8 y y' = 0$

Bước 5.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Cộng $3 x^{2} y$ cho cả hai vế của phương trình.

$- x^{3} y' + 2 x - 8 y y' = 3 x^{2} y$

Bước 5.2.2

Trừ $2 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x^{3} y' - 8 y y' = 3 x^{2} y - 2 x$

Bước 5.3

Đưa $y'$ ra ngoài $- x^{3} y' - 8 y y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $y'$ ra ngoài $- x^{3} y'$ .

$y' (- x^{3}) - 8 y y' = 3 x^{2} y - 2 x$

Bước 5.3.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- 8 y y'$ .

$y' (- x^{3}) + y' (- 8 y) = 3 x^{2} y - 2 x$

Bước 5.3.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (- x^{3}) + y' (- 8 y)$ .

$y' (- x^{3} - 8 y) = 3 x^{2} y - 2 x$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $y' (- x^{3} - 8 y) = 3 x^{2} y - 2 x$ cho $- x^{3} - 8 y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (- x^{3} - 8 y) = 3 x^{2} y - 2 x$ cho $- x^{3} - 8 y$ .

$\frac{y' (- x^{3} - 8 y)}{- x^{3} - 8 y} = \frac{3 x^{2} y}{- x^{3} - 8 y} + \frac{- 2 x}{- x^{3} - 8 y}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- x^{3} - 8 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (- x^{3} - 8 y)}{- x^{3} - 8 y} = \frac{3 x^{2} y}{- x^{3} - 8 y} + \frac{- 2 x}{- x^{3} - 8 y}$

Bước 5.4.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2} y}{- x^{3} - 8 y} + \frac{- 2 x}{- x^{3} - 8 y}$

Bước 5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{3 x^{2} y - 2 x}{- x^{3} - 8 y}$

Bước 5.4.3.2

Đưa $x$ ra ngoài $3 x^{2} y - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $3 x^{2} y$ .

$y' = \frac{x (3 x y) - 2 x}{- x^{3} - 8 y}$

Bước 5.4.3.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 2 x$ .

$y' = \frac{x (3 x y) + x \cdot - 2}{- x^{3} - 8 y}$

Bước 5.4.3.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (3 x y) + x \cdot - 2$ .

$y' = \frac{x (3 x y - 2)}{- x^{3} - 8 y}$

Bước 5.4.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{3}$ .

$y' = \frac{x (3 x y - 2)}{- (x^{3}) - 8 y}$

Bước 5.4.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 8 y$ .

$y' = \frac{x (3 x y - 2)}{- (x^{3}) - (8 y)}$

Bước 5.4.3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{3}) - (8 y)$ .

$y' = \frac{x (3 x y - 2)}{- (x^{3} + 8 y)}$

Bước 5.4.3.6

Viết lại các số âm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.6.1

Viết lại $- (x^{3} + 8 y)$ ở dạng $- 1 (x^{3} + 8 y)$ .

$y' = \frac{x (3 x y - 2)}{- 1 (x^{3} + 8 y)}$

Bước 5.4.3.6.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{x (3 x y - 2)}{x^{3} + 8 y}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (3 x y - 2)}{x^{3} + 8 y}$