Giải tích Ví dụ

$(h^{3} - 5) (3 h^{2} - 5 h - 4)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ là $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ trong đó $f (h) = h^{3} - 5$ và $g (h) = 3 h^{2} - 5 h - 4$ .

$(h^{3} - 5) \frac{d}{d h} [3 h^{2} - 5 h - 4] + (3 h^{2} - 5 h - 4) \frac{d}{d h} [h^{3} - 5]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 h^{2} - 5 h - 4$ đối với $h$ là $\frac{d}{d h} [3 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 5 h] + \frac{d}{d h} [- 4]$ .

$(h^{3} - 5) (\frac{d}{d h} [3 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 5 h] + \frac{d}{d h} [- 4]) + (3 h^{2} - 5 h - 4) \frac{d}{d h} [h^{3} - 5]$

Bước 2.2

Vì $3$ không đổi đối với $h$ , nên đạo hàm của $3 h^{2}$ đối với $h$ là $3 \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$(h^{3} - 5) (3 \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 5 h] + \frac{d}{d h} [- 4]) + (3 h^{2} - 5 h - 4) \frac{d}{d h} [h^{3} - 5]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ là $n h^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(h^{3} - 5) (3 (2 h) + \frac{d}{d h} [- 5 h] + \frac{d}{d h} [- 4]) + (3 h^{2} - 5 h - 4) \frac{d}{d h} [h^{3} - 5]$

Bước 2.4

Nhân $2$ với $3$ .

$(h^{3} - 5) (6 h + \frac{d}{d h} [- 5 h] + \frac{d}{d h} [- 4]) + (3 h^{2} - 5 h - 4) \frac{d}{d h} [h^{3} - 5]$

Bước 2.5

Vì $- 5$ không đổi đối với $h$ , nên đạo hàm của $- 5 h$ đối với $h$ là $- 5 \frac{d}{d h} [h]$ .

$(h^{3} - 5) (6 h - 5 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- 4]) + (3 h^{2} - 5 h - 4) \frac{d}{d h} [h^{3} - 5]$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ là $n h^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(h^{3} - 5) (6 h - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 4]) + (3 h^{2} - 5 h - 4) \frac{d}{d h} [h^{3} - 5]$

Bước 2.7

Nhân $- 5$ với $1$ .

$(h^{3} - 5) (6 h - 5 + \frac{d}{d h} [- 4]) + (3 h^{2} - 5 h - 4) \frac{d}{d h} [h^{3} - 5]$

Bước 2.8

Vì $- 4$ là hằng số đối với $h$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $h$ là $0$ .

$(h^{3} - 5) (6 h - 5 + 0) + (3 h^{2} - 5 h - 4) \frac{d}{d h} [h^{3} - 5]$

Bước 2.9

Cộng $6 h - 5$ và $0$ .

$(h^{3} - 5) (6 h - 5) + (3 h^{2} - 5 h - 4) \frac{d}{d h} [h^{3} - 5]$

Bước 2.10

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $h^{3} - 5$ đối với $h$ là $\frac{d}{d h} [h^{3}] + \frac{d}{d h} [- 5]$ .

$(h^{3} - 5) (6 h - 5) + (3 h^{2} - 5 h - 4) (\frac{d}{d h} [h^{3}] + \frac{d}{d h} [- 5])$

Bước 2.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ là $n h^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$(h^{3} - 5) (6 h - 5) + (3 h^{2} - 5 h - 4) (3 h^{2} + \frac{d}{d h} [- 5])$

Bước 2.12

Vì $- 5$ là hằng số đối với $h$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $h$ là $0$ .

$(h^{3} - 5) (6 h - 5) + (3 h^{2} - 5 h - 4) (3 h^{2} + 0)$

Bước 2.13

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.1

Cộng $3 h^{2}$ và $0$ .

$(h^{3} - 5) (6 h - 5) + (3 h^{2} - 5 h - 4) (3 h^{2})$

Bước 2.13.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $3 h^{2} - 5 h - 4$ .

$(h^{3} - 5) (6 h - 5) + 3 \cdot (3 h^{2} - 5 h - 4) h^{2}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(h^{3} - 5) (6 h - 5) + (3 (3 h^{2}) + 3 (- 5 h) + 3 \cdot - 4) h^{2}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(h^{3} - 5) (6 h - 5) + 3 (3 h^{2}) h^{2} + 3 (- 5 h) h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(h^{3} - 5) (6 h) + (h^{3} - 5) \cdot - 5 + 3 (3 h^{2}) h^{2} + 3 (- 5 h) h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Bước 3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$h^{3} (6 h) - 5 (6 h) + (h^{3} - 5) \cdot - 5 + 3 (3 h^{2}) h^{2} + 3 (- 5 h) h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Bước 3.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$h^{3} (6 h) - 5 (6 h) + h^{3} \cdot - 5 - 5 \cdot - 5 + 3 (3 h^{2}) h^{2} + 3 (- 5 h) h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Bước 3.6

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Nhân $h^{3}$ với $h$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1

Di chuyển $h$ .

$h \cdot h^{3} \cdot 6 - 5 (6 h) + h^{3} \cdot - 5 - 5 \cdot - 5 + 3 (3 h^{2}) h^{2} + 3 (- 5 h) h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Bước 3.6.1.2

Nhân $h$ với $h^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.2.1

Nâng $h$ lên lũy thừa $1$ .

$h^{1} h^{3} \cdot 6 - 5 (6 h) + h^{3} \cdot - 5 - 5 \cdot - 5 + 3 (3 h^{2}) h^{2} + 3 (- 5 h) h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Bước 3.6.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$h^{1 + 3} \cdot 6 - 5 (6 h) + h^{3} \cdot - 5 - 5 \cdot - 5 + 3 (3 h^{2}) h^{2} + 3 (- 5 h) h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Bước 3.6.1.3

Cộng $1$ và $3$ .

$h^{4} \cdot 6 - 5 (6 h) + h^{3} \cdot - 5 - 5 \cdot - 5 + 3 (3 h^{2}) h^{2} + 3 (- 5 h) h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Bước 3.6.2

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $h^{4}$ .

$6 \cdot h^{4} - 5 (6 h) + h^{3} \cdot - 5 - 5 \cdot - 5 + 3 (3 h^{2}) h^{2} + 3 (- 5 h) h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Bước 3.6.3

Nhân $6$ với $- 5$ .

$6 h^{4} - 30 h + h^{3} \cdot - 5 - 5 \cdot - 5 + 3 (3 h^{2}) h^{2} + 3 (- 5 h) h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Bước 3.6.4

Di chuyển $- 5$ sang phía bên trái của $h^{3}$ .

$6 h^{4} - 30 h - 5 \cdot h^{3} - 5 \cdot - 5 + 3 (3 h^{2}) h^{2} + 3 (- 5 h) h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Bước 3.6.5

Nhân $- 5$ với $- 5$ .

$6 h^{4} - 30 h - 5 h^{3} + 25 + 3 (3 h^{2}) h^{2} + 3 (- 5 h) h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Bước 3.6.6

Nhân $3$ với $3$ .

$6 h^{4} - 30 h - 5 h^{3} + 25 + 9 h^{2} h^{2} + 3 (- 5 h) h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Bước 3.6.7

Nhân $h^{2}$ với $h^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.7.1

Di chuyển $h^{2}$ .

$6 h^{4} - 30 h - 5 h^{3} + 25 + 9 (h^{2} h^{2}) + 3 (- 5 h) h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Bước 3.6.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$6 h^{4} - 30 h - 5 h^{3} + 25 + 9 h^{2 + 2} + 3 (- 5 h) h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Bước 3.6.7.3

Cộng $2$ và $2$ .

$6 h^{4} - 30 h - 5 h^{3} + 25 + 9 h^{4} + 3 (- 5 h) h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Bước 3.6.8

Nhân $- 5$ với $3$ .

$6 h^{4} - 30 h - 5 h^{3} + 25 + 9 h^{4} - 15 h \cdot h^{2} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Bước 3.6.9

Nhân $h$ với $h^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.9.1

Di chuyển $h^{2}$ .

$6 h^{4} - 30 h - 5 h^{3} + 25 + 9 h^{4} - 15 (h^{2} h) + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Bước 3.6.9.2

Nhân $h^{2}$ với $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.9.2.1

Nâng $h$ lên lũy thừa $1$ .

$6 h^{4} - 30 h - 5 h^{3} + 25 + 9 h^{4} - 15 (h^{2} h^{1}) + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Bước 3.6.9.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$6 h^{4} - 30 h - 5 h^{3} + 25 + 9 h^{4} - 15 h^{2 + 1} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Bước 3.6.9.3

Cộng $2$ và $1$ .

$6 h^{4} - 30 h - 5 h^{3} + 25 + 9 h^{4} - 15 h^{3} + 3 \cdot - 4 h^{2}$

Bước 3.6.10

Nhân $3$ với $- 4$ .

$6 h^{4} - 30 h - 5 h^{3} + 25 + 9 h^{4} - 15 h^{3} - 12 h^{2}$

Bước 3.6.11

Cộng $6 h^{4}$ và $9 h^{4}$ .

$15 h^{4} - 30 h - 5 h^{3} + 25 - 15 h^{3} - 12 h^{2}$

Bước 3.6.12

Trừ $15 h^{3}$ khỏi $- 5 h^{3}$ .

$15 h^{4} - 30 h - 20 h^{3} + 25 - 12 h^{2}$

Bước 3.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$15 h^{4} - 20 h^{3} - 12 h^{2} - 30 h + 25$