Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{2} \frac{e^{2 x^{- 2}}}{x^{3}} d x$

Bước 1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Di chuyển $x^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int_{1}^{2} e^{2 x^{- 2}} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Bước 1.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} e^{2 x^{- 2}} x^{3 \cdot - 1} d x$

Bước 1.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\int_{1}^{2} e^{2 x^{- 2}} x^{- 3} d x$

Bước 2

Giả sử $u_{1} = x^{2}$ . Sau đó $d u_{1} = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{1} = x^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = 1^{2}$

Bước 2.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{lower} = 1$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = 2^{2}$

Bước 2.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{upper} = 4$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ , $d u_{1}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{4} e^{2 {\sqrt{u_{1}}}^{- 2}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại ${\sqrt{u_{1}}}^{- 2}$ ở dạng ${u_{1}}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{1}}$ ở dạng ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 2}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 2$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{- 2}{2}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{- 1}{1}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.4.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.2

Viết lại ${\sqrt{u_{1}}}^{- 4}$ ở dạng ${u_{1}}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{1}}$ ở dạng ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 4$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{- 4}{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{- 2}{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.2.4.2.4

Chia $- 2$ cho $1$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{- 2} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 {u_{1}}^{- 1}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{2} {u_{1}}^{- 2} d u_{1}$

Bước 3.4

Kết hợp $\frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{2}$ và ${u_{1}}^{- 2}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{- 2}}{2} d u_{1}$

Bước 3.5

Di chuyển ${u_{1}}^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{2 {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Bước 5

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển ${u_{1}}^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1}$

Bước 5.2

Nhân các số mũ trong ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1}$

Bước 5.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{- 2} d u_{1}$

Bước 6

Giả sử $u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ . Sau đó $d u_{2} = - \frac{2}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$ , nên $1 d u_{2} = - \frac{2}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $2 {u_{1}}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 {u_{1}}^{- 1}]$

Bước 6.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $2 {u_{1}}^{- 1}$ đối với $u_{1}$ là $2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$2 (- {u_{1}}^{- 2})$

Bước 6.1.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 {u_{1}}^{- 2}$

Bước 6.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{u_{1}}^{2}}$

Bước 6.1.5.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{{u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{u_{1}}^{2}}$

Bước 6.1.5.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{{u_{1}}^{2}}$

Bước 6.2

Thay giới hạn dưới vào cho $u_{1}$ trong $u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 1^{- 1}$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot \frac{1}{1}$

Bước 6.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{lower} = 2 \cdot \frac{1}{1}$

Bước 6.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$u_{lower} = 2 \cdot 1$

Bước 6.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$u_{lower} = 2$

Bước 6.4

Thay giới hạn trên vào cho $u_{1}$ trong $u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 4^{- 1}$

Bước 6.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{upper} = 2 \cdot \frac{1}{4}$

Bước 6.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$u_{upper} = 2 \cdot \frac{1}{2 (2)}$

Bước 6.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = 2 \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

Bước 6.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Bước 6.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Bước 6.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{2}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 7

Vì $- \frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- \frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \int_{2}^{\frac{1}{2}} e^{u_{2}} d u_{2})$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{2}^{\frac{1}{2}} e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 8.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{1}{4} \int_{2}^{\frac{1}{2}} e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 9

Tích phân của $e^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}}]_{2}^{\frac{1}{2}}$

Bước 10

Tính $e^{u_{2}}$ tại $\frac{1}{2}$ và tại $2$ .

$- \frac{1}{4} (e^{\frac{1}{2}} - e^{2})$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{1}{4} e^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (- e^{2})$

Bước 11.2

Kết hợp $e^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} - \frac{1}{4} (- e^{2})$

Bước 11.3

Nhân $- \frac{1}{4} (- e^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + 1 (\frac{1}{4}) e^{2}$

Bước 11.3.2

Nhân $\frac{1}{4}$ với $1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4} e^{2}$

Bước 11.3.3

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $e^{2}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{e^{2}}{4}$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{e^{2}}{4}$

Dạng thập phân:

$1.43508370 \dots$

Bước 13