Giải tích Ví dụ

$\sum_{i = - 2}^{3} 3^{- i}$

Bước 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân hữu hạn có thể được xác định bằng cách dùng công thức $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ với $a$ là số hạng đầu tiên và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $a_{i}$ và $a_{i + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{3^{- (i + 1)}}{3^{- i}}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $3^{- (i + 1)}$ và $3^{- i}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Đưa $3^{- i}$ ra ngoài $3^{- (i + 1)}$ .

$r = \frac{3^{- i} \cdot 3^{- (i + 1) + i}}{3^{- i}}$

Bước 2.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{3^{- i} \cdot 3^{- (i + 1) + i}}{3^{- i} \cdot 1}$

Bước 2.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{3^{- i} \cdot 3^{- (i + 1) + i}}{3^{- i} \cdot 1}$

Bước 2.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{3^{- (i + 1) + i}}{1}$

Bước 2.2.1.2.4

Chia $3^{- (i + 1) + i}$ cho $1$ .

$r = 3^{- (i + 1) + i}$

Bước 2.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r = 3^{- i - 1 \cdot 1 + i}$

Bước 2.2.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$r = 3^{- i - 1 + i}$

Bước 2.2.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- i - 1 + i$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Cộng $- i$ và $i$ .

$r = 3^{0 - 1}$

Bước 2.2.3.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$r = 3^{- 1}$

Bước 2.2.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{3}$

Bước 3

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $- 2$ cho $i$ vào $3^{- i}$ .

$a = 3^{2}$

Bước 3.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$a = 9$

Bước 4

Thế giá trị của công bội, số hạng đầu, và số các số hạng vào công thức tính tổng.

$9 \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{6}}{1 - \frac{1}{3}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân tử số và mẫu số của phân số với $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nhân $\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{6}}{1 - \frac{1}{3}}$ với $\frac{3}{3}$ .

$9 (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{6}}{1 - \frac{1}{3}})$

Bước 5.1.2

Kết hợp.

$9 \frac{3 (1 - {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 (1 - \frac{1}{3})}$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{1}{3})}$

Bước 5.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{3}$ vào tử số.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Bước 5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Bước 5.3.3

Viết lại biểu thức.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Nhân $3$ với $1$ .

$9 \frac{3 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{3}$ .

$9 \frac{3 + 3 (- \frac{1^{6}}{3^{6}})}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1^{6}}{3^{6}}$ vào tử số.

$9 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{6}}{3^{6}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.3.2

Đưa $3$ ra ngoài $3^{6}$ .

$9 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{6}}{3 \cdot 3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$9 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{6}}{3 \cdot 3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.3.4

Viết lại biểu thức.

$9 \frac{3 + \frac{- 1^{6}}{3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$9 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.5

Nâng $3$ lên lũy thừa $5$ .

$9 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$9 \frac{3 + \frac{- 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$9 \frac{3 - \frac{1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.8

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{243}{243}$ .

$9 \frac{3 \cdot \frac{243}{243} - \frac{1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.9

Kết hợp $3$ và $\frac{243}{243}$ .

$9 \frac{\frac{3 \cdot 243}{243} - \frac{1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$9 \frac{\frac{3 \cdot 243 - 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.11.1

Nhân $3$ với $243$ .

$9 \frac{\frac{729 - 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.11.2

Trừ $1$ khỏi $729$ .

$9 \frac{\frac{728}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nhân $3$ với $1$ .

$9 \frac{\frac{728}{243}}{3 - 1}$

Bước 5.5.2

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$9 \frac{\frac{728}{243}}{2}$

Bước 5.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$9 (\frac{728}{243} \cdot \frac{1}{2})$

Bước 5.7

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $728$ .

$9 (\frac{2 (364)}{243} \cdot \frac{1}{2})$

Bước 5.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$9 (\frac{2 \cdot 364}{243} \cdot \frac{1}{2})$

Bước 5.7.3

Viết lại biểu thức.

$9 (\frac{364}{243})$

Bước 5.8

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1

Đưa $9$ ra ngoài $243$ .

$9 \frac{364}{9 (27)}$

Bước 5.8.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$9 \frac{364}{9 \cdot 27}$

Bước 5.8.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{364}{27}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{364}{27}$

Dạng thập phân:

$13.\overline{481}$

Dạng hỗn số:

$13 \frac{13}{27}$