Giải tích Ví dụ

$\int \frac{2 \sin (2 x)}{1 + 9 \cos^{2} (2 x)} d x$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \frac{\sin (2 x)}{1 + 9 \cos^{2} (2 x)} d x$

Bước 2

Giả sử $u_{2} = \cos (2 x)$ . Sau đó $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{2} = \cos (2 x)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.1.2.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.1.3.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Bước 2.1.3.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Bước 3.2

Nhân $\frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{(1 + 9 {u_{2}}^{2}) \cdot 2} d u_{2}$

Bước 3.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $1 + 9 {u_{2}}^{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 (- \int \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2})$

Bước 5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Bước 7.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Bước 7.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Bước 7.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Bước 7.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Bước 7.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$- \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Bước 8

Đưa $9$ ra ngoài $1 + 9 {u_{2}}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đưa $9$ ra ngoài $1$ .

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9}) + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Bước 8.2

Đưa $9$ ra ngoài $9 {u_{2}}^{2}$ .

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9}) + 9 ({u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Bước 8.3

Đưa $9$ ra ngoài $9 (\frac{1}{9}) + 9 ({u_{2}}^{2})$ .

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9} + {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Bước 9

Vì $\frac{1}{9}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{9}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{9} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Bước 10

Viết lại $\frac{1}{9}$ ở dạng ${(\frac{1}{3})}^{2}$ .

$- \frac{1}{9} \int \frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Bước 11

Tích phân của $\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + {u_{2}}^{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C$ .

$- \frac{1}{9} (\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{9} (1 \cdot 3 \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

Bước 12.1.2

Nhân $3$ với $1$ .

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

Bước 12.1.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (u_{2} \cdot 3) + C)$

Bước 12.1.4

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $u_{2}$ .

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (3 u_{2}) + C)$

Bước 12.2

Viết lại $- \frac{1}{9} (3 \arctan (3 u_{2}) + C)$ ở dạng $- \frac{1}{9} \cdot 3 \arctan (3 u_{2}) + C$ .

$- \frac{1}{9} \cdot 3 \arctan (3 u_{2}) + C$

Bước 12.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- 3 (\frac{1}{9}) \arctan (3 u_{2}) + C$

Bước 12.3.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{9}$ .

$\frac{- 3}{9} \arctan (3 u_{2}) + C$

Bước 12.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 3$ và $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{9} \arctan (3 u_{2}) + C$

Bước 12.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} \arctan (3 u_{2}) + C$

Bước 12.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} \arctan (3 u_{2}) + C$

Bước 12.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{3} \arctan (3 u_{2}) + C$

Bước 12.3.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{3} \arctan (3 u_{2}) + C$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\cos (2 x)$ .

$- \frac{1}{3} \arctan (3 \cos (2 x)) + C$