Giải tích Ví dụ

${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$

Bước 1

Viết ${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2} d x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại ${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ ở dạng $(\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x))$ .

$\int (\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

Bước 4.2

Khai triển $(\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \sin (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) - \cos (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

Bước 4.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \sin (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

Bước 4.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \sin (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Bước 4.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Nhân $\sin (2 x) \sin (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1.1

Nâng $\sin (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sin^{1} (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Bước 4.3.1.1.2

Nâng $\sin (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Bước 4.3.1.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int {\sin (2 x)}^{1 + 1} + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Bước 4.3.1.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Bước 4.3.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

Bước 4.3.1.3

Nhân $- \cos (2 x) (- \cos (2 x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + 1 \cos (2 x) \cos (2 x) d x$

Bước 4.3.1.3.2

Nhân $\cos (2 x)$ với $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos (2 x) \cos (2 x) d x$

Bước 4.3.1.3.3

Nâng $\cos (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos (2 x) d x$

Bước 4.3.1.3.4

Nâng $\cos (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) d x$

Bước 4.3.1.3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + {\cos (2 x)}^{1 + 1} d x$

Bước 4.3.1.3.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

Bước 4.3.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- \sin (2 x) \cos (2 x)$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

Bước 4.3.3

Trừ $\cos (2 x) \sin (2 x)$ khỏi $- \cos (2 x) \sin (2 x)$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

Bước 4.4

Di chuyển $\cos^{2} (2 x)$ .

$\int \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Bước 4.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int 1 - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int d x + \int - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$x + C + \int - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Bước 7

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$x + C - 2 \int \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Bước 8

Giả sử $u_{2} = \cos (2 x)$ . Sau đó $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u_{2} = \cos (2 x)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Bước 8.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 8.1.2.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 8.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 8.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 8.1.3.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Bước 8.1.3.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Bước 8.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$x + C - 2 \int u_{2} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x + C - 2 \int u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Bước 9.2

Kết hợp $u_{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$x + C - 2 \int - \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Bước 10

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x + C - 2 (- \int \frac{u_{2}}{2} d u_{2})$

Bước 11

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$x + C + 2 \int \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Bước 12

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$x + C + 2 (\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2})$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$x + C + \frac{2}{2} \int u_{2} d u_{2}$

Bước 13.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x + C + \frac{2}{2} \int u_{2} d u_{2}$

Bước 13.2.2

Viết lại biểu thức.

$x + C + 1 \int u_{2} d u_{2}$

Bước 13.3

Nhân $\int u_{2} d u_{2}$ với $1$ .

$x + C + \int u_{2} d u_{2}$

Bước 14

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u_{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$x + C + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 15

Rút gọn.

$x + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 16

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\cos (2 x)$ .

$x + \frac{1}{2} \cos^{2} (2 x) + C$

Bước 17

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $x + \frac{1}{2} \cos^{2} (2 x) + C$