Giải tích Ví dụ

$- 5 y + 4 x^{3} y + 2 x^{2} = 0$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (- 5 y + 4 x^{3} y + 2 x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 5 y + 4 x^{3} y + 2 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 y$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Bước 2.2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- 5 y' + \frac{d}{d x} [4 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{3} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{3} y$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

$- 5 y' + 4 \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

$- 5 y' + 4 (x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Bước 2.3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- 5 y' + 4 (x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- 5 y' + 4 (x^{3} y' + y (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Bước 2.3.5

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $y$ .

$- 5 y' + 4 (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 y' + 4 (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 5 y' + 4 (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + 2 (2 x)$

Bước 2.4.3

Nhân $2$ với $2$ .

$- 5 y' + 4 (x^{3} y' + 3 y x^{2}) + 4 x$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 5 y' + 4 (x^{3} y') + 4 (3 y x^{2}) + 4 x$

Bước 2.5.2

Nhân $3$ với $4$ .

$- 5 y' + 4 x^{3} y' + 12 y x^{2} + 4 x$

Bước 2.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$4 x^{3} y' + 12 x^{2} y + 4 x - 5 y'$

Bước 3

Vì $0$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $0$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$4 x^{3} y' + 12 x^{2} y + 4 x - 5 y' = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Trừ $12 x^{2} y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$4 x^{3} y' + 4 x - 5 y' = - 12 x^{2} y$

Bước 5.1.2

Trừ $4 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$4 x^{3} y' - 5 y' = - 12 x^{2} y - 4 x$

Bước 5.2

Đưa $y'$ ra ngoài $4 x^{3} y' - 5 y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $y'$ ra ngoài $4 x^{3} y'$ .

$y' (4 x^{3}) - 5 y' = - 12 x^{2} y - 4 x$

Bước 5.2.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- 5 y'$ .

$y' (4 x^{3}) + y' \cdot - 5 = - 12 x^{2} y - 4 x$

Bước 5.2.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (4 x^{3}) + y' \cdot - 5$ .

$y' (4 x^{3} - 5) = - 12 x^{2} y - 4 x$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $y' (4 x^{3} - 5) = - 12 x^{2} y - 4 x$ cho $4 x^{3} - 5$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (4 x^{3} - 5) = - 12 x^{2} y - 4 x$ cho $4 x^{3} - 5$ .

$\frac{y' (4 x^{3} - 5)}{4 x^{3} - 5} = \frac{- 12 x^{2} y}{4 x^{3} - 5} + \frac{- 4 x}{4 x^{3} - 5}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4 x^{3} - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (4 x^{3} - 5)}{4 x^{3} - 5} = \frac{- 12 x^{2} y}{4 x^{3} - 5} + \frac{- 4 x}{4 x^{3} - 5}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 12 x^{2} y}{4 x^{3} - 5} + \frac{- 4 x}{4 x^{3} - 5}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{- 12 x^{2} y - 4 x}{4 x^{3} - 5}$

Bước 5.3.3.2

Đưa $4 x$ ra ngoài $- 12 x^{2} y - 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Đưa $4 x$ ra ngoài $- 12 x^{2} y$ .

$y' = \frac{4 x (- 3 x y) - 4 x}{4 x^{3} - 5}$

Bước 5.3.3.2.2

Đưa $4 x$ ra ngoài $- 4 x$ .

$y' = \frac{4 x (- 3 x y) + 4 x (- 1)}{4 x^{3} - 5}$

Bước 5.3.3.2.3

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 x (- 3 x y) + 4 x (- 1)$ .

$y' = \frac{4 x (- 3 x y - 1)}{4 x^{3} - 5}$

Bước 5.3.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 x y$ .

$y' = \frac{4 x (- (3 x y) - 1)}{4 x^{3} - 5}$

Bước 5.3.3.4

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{4 x (- (3 x y) - 1 (1))}{4 x^{3} - 5}$

Bước 5.3.3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (3 x y) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{4 x (- (3 x y + 1))}{4 x^{3} - 5}$

Bước 5.3.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.6.1

Viết lại $- (3 x y + 1)$ ở dạng $- 1 (3 x y + 1)$ .

$y' = \frac{4 x (- 1 (3 x y + 1))}{4 x^{3} - 5}$

Bước 5.3.3.6.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{(4 x) (3 x y + 1)}{4 x^{3} - 5}$

Bước 5.3.3.6.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{(4 x) (3 x y + 1)}{4 x^{3} - 5}$ .

$y' = - \frac{4 x (3 x y + 1)}{4 x^{3} - 5}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x (3 x y + 1)}{4 x^{3} - 5}$