Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{5}{8} x^{- 2} + \frac{4}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{4} + \frac{1}{10} x^{- 3}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{5}{8} x^{- 2} + \frac{4}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{4} + \frac{1}{10} x^{- 3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{5}{8} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{8} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{5}{8} x^{- 2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $\frac{5}{8}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{5}{8} x^{- 2}$ đối với $x$ là $\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 2$ .

$\frac{5}{8} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Bước 1.2.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{5}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 5}{8} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Bước 1.2.4

Nhân $- 2$ với $5$ .

$\frac{- 10}{8} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Bước 1.2.5

Kết hợp $\frac{- 10}{8}$ và $x^{- 3}$ .

$\frac{- 10 x^{- 3}}{8} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Bước 1.2.6

Di chuyển $x^{- 3}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 10}{8 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Bước 1.2.7

Triệt tiêu thừa số chung của $- 10$ và $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 10$ .

$\frac{2 (- 5)}{8 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Bước 1.2.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $8 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 5)}{2 (4 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Bước 1.2.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 (4 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Bước 1.2.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 5}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Bước 1.2.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $\frac{4}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{4}{3} x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Bước 1.3.3

Kết hợp $3$ và $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Bước 1.3.4

Nhân $3$ với $4$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Bước 1.3.5

Kết hợp $\frac{12}{3}$ và $x^{2}$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Bước 1.3.6

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $12 x^{2}$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 (4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Bước 1.3.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 (4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Bước 1.3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Bước 1.3.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Bước 1.3.6.2.4

Chia $4 x^{2}$ cho $1$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $\frac{2}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2}{3} x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{2}{3} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Bước 1.4.3

Kết hợp $4$ và $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{4 \cdot 2}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Bước 1.4.4

Nhân $4$ với $2$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{8}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Bước 1.4.5

Kết hợp $\frac{8}{3}$ và $x^{3}$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

Bước 1.5

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Vì $\frac{1}{10}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{10} x^{- 3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3} + \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Bước 1.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 3$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3} + \frac{1}{10} (- 3 x^{- 4})$

Bước 1.5.3

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{10}$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3} + \frac{- 3}{10} x^{- 4}$

Bước 1.5.4

Kết hợp $\frac{- 3}{10}$ và $x^{- 4}$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3} + \frac{- 3 x^{- 4}}{10}$

Bước 1.5.5

Di chuyển $x^{- 4}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3} + \frac{- 3}{10 x^{4}}$

Bước 1.5.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3} - \frac{3}{10 x^{4}}$

Bước 1.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = \frac{8 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - \frac{5}{4 x^{3}} - \frac{3}{10 x^{4}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{8 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - \frac{5}{4 x^{3}} - \frac{3}{10 x^{4}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{3}}{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $\frac{8}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{8 x^{3}}{3}$ đối với $x$ là $\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{8}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Bước 2.2.3

Kết hợp $3$ và $\frac{8}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 8}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Bước 2.2.4

Nhân $3$ với $8$ .

$\frac{24}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Bước 2.2.5

Kết hợp $\frac{24}{3}$ và $x^{2}$ .

$\frac{24 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Bước 2.2.6

Triệt tiêu thừa số chung của $24$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $24 x^{2}$ .

$\frac{3 (8 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Bước 2.2.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Bước 2.2.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Bước 2.2.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{8 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Bước 2.2.6.2.4

Chia $8 x^{2}$ cho $1$ .

$8 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$8 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Bước 2.3.3

Nhân $2$ với $4$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- \frac{5}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{5}{4 x^{3}}$ đối với $x$ là $- \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Bước 2.4.2

Viết lại $\frac{1}{x^{3}}$ ở dạng ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Bước 2.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{3}$ .

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Bước 2.4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Bước 2.4.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{3}$ .

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Bước 2.4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Bước 2.4.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Bước 2.4.5.2

Nhân $3$ với $- 2$ .

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Bước 2.4.6

Nhân $3$ với $- 1$ .

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Bước 2.4.7

Nhân $x^{- 6}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.7.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Bước 2.4.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Bước 2.4.7.3

Trừ $6$ khỏi $2$ .

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Bước 2.4.8

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$8 x^{2} + 8 x + 3 (\frac{5}{4}) x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Bước 2.4.9

Kết hợp $3$ và $\frac{5}{4}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{3 \cdot 5}{4} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Bước 2.4.10

Nhân $3$ với $5$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Bước 2.4.11

Kết hợp $\frac{15}{4}$ và $x^{- 4}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15 x^{- 4}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Bước 2.4.12

Di chuyển $x^{- 4}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

Bước 2.5

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Vì $- \frac{3}{10}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{3}{10 x^{4}}$ đối với $x$ là $- \frac{3}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Bước 2.5.2

Viết lại $\frac{1}{x^{4}}$ ở dạng ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Bước 2.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{4}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 2.5.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 2.5.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{4}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 2.5.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Bước 2.5.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Bước 2.5.5.2

Nhân $4$ với $- 2$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Bước 2.5.6

Nhân $4$ với $- 1$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Bước 2.5.7

Nhân $x^{- 8}$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.7.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Bước 2.5.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- 4 x^{3 - 8})$

Bước 2.5.7.3

Trừ $8$ khỏi $3$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- 4 x^{- 5})$

Bước 2.5.8

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + 4 (\frac{3}{10}) x^{- 5}$

Bước 2.5.9

Kết hợp $4$ và $\frac{3}{10}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{4 \cdot 3}{10} x^{- 5}$

Bước 2.5.10

Nhân $4$ với $3$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{12}{10} x^{- 5}$

Bước 2.5.11

Kết hợp $\frac{12}{10}$ và $x^{- 5}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{12 x^{- 5}}{10}$

Bước 2.5.12

Di chuyển $x^{- 5}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{12}{10 x^{5}}$

Bước 2.5.13

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.13.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{2 (6)}{10 x^{5}}$

Bước 2.5.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.13.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $10 x^{5}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{2 (6)}{2 (5 x^{5})}$

Bước 2.5.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{2 \cdot 6}{2 (5 x^{5})}$

Bước 2.5.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = 8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{6}{5 x^{5}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{6}{5 x^{5}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x^{2}$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Bước 3.2.3

Nhân $2$ với $8$ .

$16 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$16 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Bước 3.3.3

Nhân $8$ với $1$ .

$16 x + 8 + \frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Bước 3.4

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $\frac{15}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{15}{4 x^{4}}$ đối với $x$ là $\frac{15}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$16 x + 8 + \frac{15}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Bước 3.4.2

Viết lại $\frac{1}{x^{4}}$ ở dạng ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$16 x + 8 + \frac{15}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Bước 3.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{4}$ .

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Bước 3.4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Bước 3.4.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{4}$ .

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Bước 3.4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Bước 3.4.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Bước 3.4.5.2

Nhân $4$ với $- 2$ .

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Bước 3.4.6

Nhân $4$ với $- 1$ .

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Bước 3.4.7

Nhân $x^{- 8}$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Bước 3.4.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Bước 3.4.7.3

Trừ $8$ khỏi $3$ .

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Bước 3.4.8

Kết hợp $- 4$ và $\frac{15}{4}$ .

$16 x + 8 + \frac{- 4 \cdot 15}{4} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Bước 3.4.9

Nhân $- 4$ với $15$ .

$16 x + 8 + \frac{- 60}{4} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Bước 3.4.10

Kết hợp $\frac{- 60}{4}$ và $x^{- 5}$ .

$16 x + 8 + \frac{- 60 x^{- 5}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Bước 3.4.11

Di chuyển $x^{- 5}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 x + 8 + \frac{- 60}{4 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Bước 3.4.12

Triệt tiêu thừa số chung của $- 60$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.12.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 60$ .

$16 x + 8 + \frac{4 \cdot - 15}{4 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Bước 3.4.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.12.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{5}$ .

$16 x + 8 + \frac{4 \cdot - 15}{4 (x^{5})} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Bước 3.4.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$16 x + 8 + \frac{4 \cdot - 15}{4 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Bước 3.4.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$16 x + 8 + \frac{- 15}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Bước 3.4.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

Bước 3.5

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Vì $\frac{6}{5}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{6}{5 x^{5}}$ đối với $x$ là $\frac{6}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Bước 3.5.2

Viết lại $\frac{1}{x^{5}}$ ở dạng ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Bước 3.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{5}$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 3.5.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 3.5.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{5}$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 3.5.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Bước 3.5.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Bước 3.5.5.2

Nhân $5$ với $- 2$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Bước 3.5.6

Nhân $5$ với $- 1$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Bước 3.5.7

Nhân $x^{- 10}$ với $x^{4}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.1

Di chuyển $x^{4}$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Bước 3.5.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- 5 x^{4 - 10})$

Bước 3.5.7.3

Trừ $10$ khỏi $4$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- 5 x^{- 6})$

Bước 3.5.8

Kết hợp $- 5$ và $\frac{6}{5}$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{- 5 \cdot 6}{5} x^{- 6}$

Bước 3.5.9

Nhân $- 5$ với $6$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{- 30}{5} x^{- 6}$

Bước 3.5.10

Kết hợp $\frac{- 30}{5}$ và $x^{- 6}$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{- 30 x^{- 6}}{5}$

Bước 3.5.11

Di chuyển $x^{- 6}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{- 30}{5 x^{6}}$

Bước 3.5.12

Triệt tiêu thừa số chung của $- 30$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.12.1

Đưa $5$ ra ngoài $- 30$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{5 \cdot - 6}{5 x^{6}}$

Bước 3.5.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.12.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 x^{6}$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{5 \cdot - 6}{5 (x^{6})}$

Bước 3.5.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{5 \cdot - 6}{5 x^{6}}$

Bước 3.5.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{- 6}{x^{6}}$

Bước 3.5.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} - \frac{6}{x^{6}}$

Bước 3.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$f''' (x) = 16 x - \frac{15}{x^{5}} - \frac{6}{x^{6}} + 8$

Bước 4

Đạo hàm bậc ba của $f (x)$ đối với $x$ là $16 x - \frac{15}{x^{5}} - \frac{6}{x^{6}} + 8$ .

$16 x - \frac{15}{x^{5}} - \frac{6}{x^{6}} + 8$