Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(3 \cos (3 θ))}^{2} d θ$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 \cos (3 θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(3 (\cos (3 θ)))}^{2} d θ$

Bước 1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 (\cos (3 θ))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 3^{2} \cos^{2} (3 θ) d θ$

Bước 1.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 9 \cos^{2} (3 θ) d θ$

Bước 2

Vì $9$ không đổi đối với $θ$ , hãy di chuyển $9$ ra khỏi tích phân.

$9 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos^{2} (3 θ) d θ$

Bước 3

Giả sử $u_{1} = 3 θ$ . Sau đó $d u_{1} = 3 d θ$ , nên $\frac{1}{3} d u_{1} = d θ$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u_{1} = 3 θ$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d θ}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $3 θ$ .

$\frac{d}{d θ} [3 θ]$

Bước 3.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $θ$ , nên đạo hàm của $3 θ$ đối với $θ$ là $3 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$3 \frac{d}{d θ} [θ]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ là $n θ^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 3.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 3.2

Thay giới hạn dưới vào cho $θ$ trong $u_{1} = 3 θ$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Bước 3.3

Nhân $3$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 3.4

Thay giới hạn trên vào cho $θ$ trong $u_{1} = 3 θ$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{6}$

Bước 3.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 (2)}$

Bước 3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 \cdot 2}$

Bước 3.5.3

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Bước 3.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Bước 3.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ , $d u_{1}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$9 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1}$

Bước 4

Kết hợp $\cos^{2} (u_{1})$ và $\frac{1}{3}$ .

$9 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{3} d u_{1}$

Bước 5

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$9 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $9$ .

$\frac{9}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung của $9$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 6.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 6.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 6.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 6.2.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 7

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (u_{1})$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Bước 8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$3 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $3$ .

$\frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 10

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{3}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d u_{1} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 11

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 12

Giả sử $u_{2} = 2 u_{1}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 u_{1}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Tính đạo hàm $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Bước 12.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $2 u_{1}$ đối với $u_{1}$ là $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Bước 12.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 12.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 12.2

Thay giới hạn dưới vào cho $u_{1}$ trong $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Bước 12.3

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 12.4

Thay giới hạn trên vào cho $u_{1}$ trong $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Bước 12.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Bước 12.5.2

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = π$

Bước 12.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Bước 12.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Bước 13

Kết hợp $\cos (u_{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Bước 14

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Bước 15

Tích phân của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sin (u_{2})$ .

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{π})$

Bước 16

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Tính $u_{1}$ tại $\frac{π}{2}$ và tại $0$ .

$\frac{3}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{π})$

Bước 16.2

Tính $\sin (u_{2})$ tại $π$ và tại $0$ .

$\frac{3}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (0)))$

Bước 16.3

Cộng $\frac{π}{2}$ và $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (0)))$

Bước 17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - 0))$

Bước 17.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) + 0))$

Bước 17.3

Cộng $\sin (π)$ và $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (π))$

Bước 17.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (π)$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π)}{2})$

Bước 18

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + \sin (π)}{2}$

Bước 18.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + \sin (0)}{2}$

Bước 18.2.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + 0}{2}$

Bước 18.3

Cộng $π$ và $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Bước 18.4

Nhân $\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.4.1

Nhân $\frac{3}{2}$ với $\frac{π}{2}$ .

$\frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Bước 18.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{3 π}{4}$

Bước 19

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{3 π}{4}$

Dạng thập phân:

$2.35619449 \dots$