Giải tích Ví dụ

$\int 6 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$6 \int x {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = x^{2} + 1$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 2.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$6 \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u$

Bước 3

Kết hợp $u^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$6 \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$6 (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $6$ .

$\frac{6}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{1} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 5.2.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$3 \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{3}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $3 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ ở dạng $3 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$3 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Kết hợp $3$ và $\frac{2}{5}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 7.2.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{6}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

$\frac{6}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + C$