Giải tích Ví dụ

$y = \sin (2 x)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\sin (2 x))$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = \sin (y)$ và $g (y) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [2 x]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d y} [2 x]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d y} [2 x]$

Bước 3.2

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $y$ là $2 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d y} [x])$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$\cos (2 x) (2 x')$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các thừa số của $\cos (2 x) (2 x')$ .

$2 \cos (2 x) x'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 = 2 \cos (2 x) x'$

Bước 5

Giải tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 \cos (2 x) x' = 1$ .

$2 \cos (2 x) x' = 1$

Bước 5.2

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos (2 x) x' = 1$ cho $2 \cos (2 x)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos (2 x) x' = 1$ cho $2 \cos (2 x)$ .

$\frac{2 \cos (2 x) x'}{2 \cos (2 x)} = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cos (2 x) x'}{2 \cos (2 x)} = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Bước 5.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\cos (2 x) x'}{\cos (2 x)} = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos (2 x) x'}{\cos (2 x)} = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Bước 5.2.2.2.2

Chia $x'$ cho $1$ .

$x' = \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Bước 5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Tách các phân số.

$x' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$

Bước 5.2.3.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (2 x)}$ sang $\sec (2 x)$ .

$x' = \frac{1}{2} \sec (2 x)$

Bước 5.2.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sec (2 x)$ .

$x' = \frac{\sec (2 x)}{2}$

Bước 6

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{\sec (2 x)}{2}$