Giải tích Ví dụ

$f (x) = {(1 - 2 x)}^{3}$

Bước 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = 1 - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Bước 1.1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Bước 1.1.1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - 2 x$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Bước 1.1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Bước 1.1.1.2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 1.1.1.2.4

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(1 - 2 x)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.1.1.2.5

Nhân $- 2$ với $3$ .

$- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.1.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \cdot 1$

Bước 1.1.1.2.7

Nhân $- 6$ với $1$ .

$f' (x) = - 6 {(1 - 2 x)}^{2}$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Viết lại ${(1 - 2 x)}^{2}$ ở dạng $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 ((1 - 2 x) (1 - 2 x))]$

Bước 1.1.2.2

Khai triển $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 (1 - 2 x) - 2 x (1 - 2 x))]$

Bước 1.1.2.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x (1 - 2 x))]$

Bước 1.1.2.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x))]$

Bước 1.1.2.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x))]$

Bước 1.1.2.3.1.2

Nhân $- 2 x$ với $1$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x))]$

Bước 1.1.2.3.1.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 x (- 2 x))]$

Bước 1.1.2.3.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

Bước 1.1.2.3.1.5

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1.5.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

Bước 1.1.2.3.1.5.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

Bước 1.1.2.3.1.6

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 2 x - 2 x + 4 x^{2})]$

Bước 1.1.2.3.2

Trừ $2 x$ khỏi $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 (1 - 4 x + 4 x^{2})]$

Bước 1.1.2.4

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 6 (1 - 4 x + 4 x^{2})$ đối với $x$ là $- 6 \frac{d}{d x} [1 - 4 x + 4 x^{2}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [1 - 4 x + 4 x^{2}]$

Bước 1.1.2.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - 4 x + 4 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$- 6 (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Bước 1.1.2.6

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- 6 (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Bước 1.1.2.7

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$- 6 (\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Bước 1.1.2.8

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 (- 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Bước 1.1.2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 6 (- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Bước 1.1.2.10

Nhân $- 4$ với $1$ .

$- 6 (- 4 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Bước 1.1.2.11

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 6 (- 4 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.1.2.12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 6 (- 4 + 4 (2 x))$

Bước 1.1.2.13

Nhân $2$ với $4$ .

$- 6 (- 4 + 8 x)$

Bước 1.1.2.14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.14.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 6 \cdot - 4 - 6 (8 x)$

Bước 1.1.2.14.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.14.2.1

Nhân $- 6$ với $- 4$ .

$24 - 6 (8 x)$

Bước 1.1.2.14.2.2

Nhân $8$ với $- 6$ .

$24 - 48 x$

Bước 1.1.2.14.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = - 48 x + 24$

Bước 1.1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $- 48 x + 24$ .

$- 48 x + 24$

Bước 1.2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $- 48 x + 24 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$- 48 x + 24 = 0$

Bước 1.2.2

Trừ $24$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 48 x = - 24$

Bước 1.2.3

Chia mỗi số hạng trong $- 48 x = - 24$ cho $- 48$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- 48 x = - 24$ cho $- 48$ .

$\frac{- 48 x}{- 48} = \frac{- 24}{- 48}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 48$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 48 x}{- 48} = \frac{- 24}{- 48}$

Bước 1.2.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 24}{- 48}$

Bước 1.2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 24$ và $- 48$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1.1

Đưa $- 24$ ra ngoài $- 24$ .

$x = \frac{- 24 (1)}{- 48}$

Bước 1.2.3.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1.2.1

Đưa $- 24$ ra ngoài $- 48$ .

$x = \frac{- 24 \cdot 1}{- 24 \cdot 2}$

Bước 1.2.3.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{- 24 \cdot 1}{- 24 \cdot 2}$

Bước 1.2.3.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{1}{2}$

Bước 2

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 3

Tạo các khoảng quanh giá trị $x$ có đạo hàm bậc hai bằng không hoặc không xác định.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Bước 4

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- \infty, \frac{1}{2})$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f'' (0) = - 48 \cdot 0 + 24$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân $- 48$ với $0$ .

$f'' (0) = 0 + 24$

Bước 4.2.2

Cộng $0$ và $24$ .

$f'' (0) = 24$

Bước 4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $24$ .

$24$

Bước 4.3

Đồ thị lõm trong khoảng $(- \infty, \frac{1}{2})$ vì $f'' (0)$ dương.

Đồ thị có dạng lõm

Bước 5

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(\frac{1}{2}, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f'' (3) = - 48 \cdot 3 + 24$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $- 48$ với $3$ .

$f'' (3) = - 144 + 24$

Bước 5.2.2

Cộng $- 144$ và $24$ .

$f'' (3) = - 120$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 120$ .

$- 120$

Bước 5.3

Đồ thị lồi trên khoảng $(\frac{1}{2}, \infty)$ vì $f'' (3)$ âm.

Đồ thị có dạng lồi

Bước 6

Đồ thị lồi khi đạo hàm bậc hai âm và lõm khi đạo hàm bậc hai dương.

Đồ thị có dạng lõm

Đồ thị có dạng lồi

Bước 7