Giải tích Ví dụ

$(x + x^{2}) e^{- 2 x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x + x^{2}$ và $g (x) = e^{- 2 x}$ .

$(x + x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- 2 x$ .

$(x + x^{2}) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$(x + x^{2}) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 2 x$ .

$(x + x^{2}) (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x + x^{2}) e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(x + x^{2}) e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

Bước 3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $- 2$ với $1$ .

$(x + x^{2}) e^{- 2 x} \cdot - 2 + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

Bước 3.3.2

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $(x + x^{2}) e^{- 2 x}$ .

$- 2 \cdot ((x + x^{2}) e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]$

Bước 3.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 (x + x^{2}) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 (x + x^{2}) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 2 (x + x^{2}) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (1 + 2 x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(- 2 x - 2 x^{2}) e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (1 + 2 x)$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 x e^{- 2 x} - 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (1 + 2 x)$

Bước 4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 x e^{- 2 x} - 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} \cdot 1 + e^{- 2 x} (2 x)$

Bước 4.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Nhân $e^{- 2 x}$ với $1$ .

$- 2 x e^{- 2 x} - 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (2 x)$

Bước 4.4.2

Cộng $- 2 x e^{- 2 x}$ và $e^{- 2 x} (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Di chuyển $e^{- 2 x}$ .

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} - 2 x e^{- 2 x} + 2 x e^{- 2 x}$

Bước 4.4.2.2

Cộng $- 2 x e^{- 2 x}$ và $2 x e^{- 2 x}$ .

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 0$

Bước 4.4.3

Cộng $- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$ và $0$ .

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$

Bước 4.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 2 e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x}$

Bước 4.6

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 2 e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x}$ .

$- 2 x^{2} e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$