Giải tích Ví dụ

$- y^{2} - x y^{3} - x^{3} = - 2$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (- y^{2} - x y^{3} - x^{3}) = \frac{d}{d x} (- 2)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- y^{2} - x y^{3} - x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- y^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $y$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $y$ .

$- (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 2.2.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 y y' + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x y^{3}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$- 2 y y' - \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y^{3}$ .

$- 2 y y' - (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $y$ .

$- 2 y y' - (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 2.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- 2 y y' - (x (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 2.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $y$ .

$- 2 y y' - (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 2.3.4

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- 2 y y' - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 2.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 y y' - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 2.3.6

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$- 2 y y' - (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 2.3.7

Nhân $y^{3}$ với $1$ .

$- 2 y y' - (3 x y^{2} y' + y^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{3}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 y y' - (3 x y^{2} y' + y^{3}) - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- 2 y y' - (3 x y^{2} y' + y^{3}) - (3 x^{2})$

Bước 2.4.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- 2 y y' - (3 x y^{2} y' + y^{3}) - 3 x^{2}$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 y y' - (3 x y^{2} y') - y^{3} - 3 x^{2}$

Bước 2.5.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- 2 y y' - 3 x y^{2} y' - y^{3} - 3 x^{2}$

Bước 2.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- y^{3} - 3 x^{2} - 2 y y' - 3 y^{2} x y'$

Bước 3

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- y^{3} - 3 x^{2} - 2 y y' - 3 y^{2} x y' = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Cộng $y^{3}$ cho cả hai vế của phương trình.

$- 3 x^{2} - 2 y y' - 3 y^{2} x y' = y^{3}$

Bước 5.1.2

Cộng $3 x^{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$- 2 y y' - 3 y^{2} x y' = y^{3} + 3 x^{2}$

Bước 5.2

Đưa $y y'$ ra ngoài $- 2 y y' - 3 y^{2} x y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $y y'$ ra ngoài $- 2 y y'$ .

$y y' \cdot - 2 - 3 y^{2} x y' = y^{3} + 3 x^{2}$

Bước 5.2.2

Đưa $y y'$ ra ngoài $- 3 y^{2} x y'$ .

$y y' \cdot - 2 + y y' (- 3 y x) = y^{3} + 3 x^{2}$

Bước 5.2.3

Đưa $y y'$ ra ngoài $y y' \cdot - 2 + y y' (- 3 y x)$ .

$y y' (- 2 - 3 y x) = y^{3} + 3 x^{2}$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $y y' (- 2 - 3 y x) = y^{3} + 3 x^{2}$ cho $y (- 2 - 3 y x)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y y' (- 2 - 3 y x) = y^{3} + 3 x^{2}$ cho $y (- 2 - 3 y x)$ .

$\frac{y y' (- 2 - 3 y x)}{y (- 2 - 3 y x)} = \frac{y^{3}}{y (- 2 - 3 y x)} + \frac{3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y y' (- 2 - 3 y x)}{y (- 2 - 3 y x)} = \frac{y^{3}}{y (- 2 - 3 y x)} + \frac{3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Bước 5.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' (- 2 - 3 y x)}{- 2 - 3 y x} = \frac{y^{3}}{y (- 2 - 3 y x)} + \frac{3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $- 2 - 3 y x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (- 2 - 3 y x)}{- 2 - 3 y x} = \frac{y^{3}}{y (- 2 - 3 y x)} + \frac{3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Bước 5.3.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{y^{3}}{y (- 2 - 3 y x)} + \frac{3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $y^{3}$ và $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{3}$ .

$y' = \frac{y \cdot y^{2}}{y (- 2 - 3 y x)} + \frac{3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Bước 5.3.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{y \cdot y^{2}}{y (- 2 - 3 y x)} + \frac{3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Bước 5.3.3.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{y^{2}}{- 2 - 3 y x} + \frac{3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Bước 5.3.3.2

Để viết $\frac{y^{2}}{- 2 - 3 y x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{- 2 - 3 y x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Bước 5.3.3.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(- 2 - 3 y x) y$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.1

Nhân $\frac{y^{2}}{- 2 - 3 y x}$ với $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y^{2} y}{(- 2 - 3 y x) y} + \frac{3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Bước 5.3.3.3.2

Sắp xếp lại các thừa số của $(- 2 - 3 y x) y$ .

$y' = \frac{y^{2} y}{y (- 2 - 3 y x)} + \frac{3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Bước 5.3.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{y^{2} y + 3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Bước 5.3.3.5

Nhân $y^{2}$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.5.1

Nhân $y^{2}$ với $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.5.1.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$y' = \frac{y^{2} y^{1} + 3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Bước 5.3.3.5.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y' = \frac{y^{2 + 1} + 3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Bước 5.3.3.5.2

Cộng $2$ và $1$ .

$y' = \frac{y^{3} + 3 x^{2}}{y (- 2 - 3 y x)}$

Bước 5.3.3.6

Viết lại $- 2$ ở dạng $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{y^{3} + 3 x^{2}}{y (- 1 (2) - 3 y x)}$

Bước 5.3.3.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 y x$ .

$y' = \frac{y^{3} + 3 x^{2}}{y (- 1 (2) - (3 y x))}$

Bước 5.3.3.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (2) - (3 y x)$ .

$y' = \frac{y^{3} + 3 x^{2}}{y (- 1 (2 + 3 y x))}$

Bước 5.3.3.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{y^{3} + 3 x^{2}}{y (2 + 3 y x)}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{3} + 3 x^{2}}{y (2 + 3 y x)}$