Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{e^{x} - 1}$

Bước 1

Viết lại $\frac{1}{e^{x} - 1}$ ở dạng ${(e^{x} - 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(e^{x} - 1)}^{- 1}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = e^{x} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $e^{x} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $e^{x} - 1$ .

$- {(e^{x} - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Bước 3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- {(e^{x} - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$- {(e^{x} - 1)}^{- 2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$- {(e^{x} - 1)}^{- 2} (e^{x} + 0)$

Bước 5.2

Cộng $e^{x}$ và $0$ .

$- {(e^{x} - 1)}^{- 2} e^{x}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(e^{x} - 1)}^{2}} e^{x}$

Bước 6.2

Kết hợp $e^{x}$ và $\frac{1}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$