Giải tích Ví dụ

$y = arcsec (3 x) + arccsc (3 x)$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $arcsec (3 x) + arccsc (3 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [arcsec (3 x)] + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [arcsec (3 x)] + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [arcsec (3 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = arcsec (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [arcsec (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $arcsec (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 x$ .

$\frac{1}{3 x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

Bước 2.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 1}} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{3 x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 1}} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

Bước 2.4

Đưa $3$ ra ngoài $3 x$ .

$\frac{1}{3 x \sqrt{{(3 (x))}^{2} - 1}} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

Bước 2.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 (x)$ .

$\frac{1}{3 x \sqrt{3^{2} x^{2} - 1}} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

Bước 2.6

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

Bước 2.7

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{1}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

Bước 2.8

Kết hợp $\frac{1}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$ và $3$ .

$\frac{3}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

Bước 2.9

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

Bước 2.9.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [arccsc (3 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = arccsc (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 x$ .

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{d}{d u_{2}} [arccsc (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $arccsc (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \frac{1}{u_{2} \sqrt{{u_{2}}^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{u_{2} \sqrt{{u_{2}}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 x$ .

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{3 x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{3 x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 1}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{3 x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 1}} (3 \cdot 1)$

Bước 3.4

Đưa $3$ ra ngoài $3 x$ .

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{3 x \sqrt{{(3 (x))}^{2} - 1}} (3 \cdot 1)$

Bước 3.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 (x)$ .

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{3 x \sqrt{3^{2} x^{2} - 1}} (3 \cdot 1)$

Bước 3.6

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}} (3 \cdot 1)$

Bước 3.7

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}} \cdot 3$

Bước 3.8

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - 3 \frac{1}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$

Bước 3.9

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{- 3}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$

Bước 3.10

Triệt tiêu thừa số chung của $- 3$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3$ .

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$

Bước 3.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x \sqrt{9 x^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (x \sqrt{9 x^{2} - 1})}$

Bước 3.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (x \sqrt{9 x^{2} - 1})}$

Bước 3.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} + \frac{- 1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$

Bước 3.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}} - \frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$

Bước 4

Trừ $\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$ khỏi $\frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 1}}$ .

$0$