Giải tích Ví dụ

$\int 5 u^{2} {(3 + 2 u^{3})}^{\frac{2}{3}} d u$

Bước 1

Vì $5$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$5 \int u^{2} {(3 + 2 u^{3})}^{\frac{2}{3}} d u$

Bước 2

Giả sử $u_{1} = 3 + 2 u^{3}$ . Sau đó $d u_{1} = 6 u^{2} d u$ , nên $\frac{1}{6} d u_{1} = u^{2} d u$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{1} = 3 + 2 u^{3}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $3 + 2 u^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [3 + 2 u^{3}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 + 2 u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{d}{d u} [3] + \frac{d}{d u} [2 u^{3}]$ .

$\frac{d}{d u} [3] + \frac{d}{d u} [2 u^{3}]$

Bước 2.1.2.2

Vì $3$ là hằng số đối với $u$ , đạo hàm của $3$ đối với $u$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d u} [2 u^{3}]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d u} [2 u^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $u$ , nên đạo hàm của $2 u^{3}$ đối với $u$ là $2 \frac{d}{d u} [u^{3}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d u} [u^{3}]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$0 + 2 (3 u^{2})$

Bước 2.1.3.3

Nhân $3$ với $2$ .

$0 + 6 u^{2}$

Bước 2.1.4

Cộng $0$ và $6 u^{2}$ .

$6 u^{2}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$5 \int {u_{1}}^{\frac{2}{3}} \frac{1}{6} d u_{1}$

Bước 3

Kết hợp ${u_{1}}^{\frac{2}{3}}$ và $\frac{1}{6}$ .

$5 \int \frac{{u_{1}}^{\frac{2}{3}}}{6} d u_{1}$

Bước 4

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{6}$ ra khỏi tích phân.

$5 (\frac{1}{6} \int {u_{1}}^{\frac{2}{3}} d u_{1})$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $5$ .

$\frac{5}{6} \int {u_{1}}^{\frac{2}{3}} d u_{1}$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{1}}^{\frac{2}{3}}$ đối với $u_{1}$ là $\frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{5}{6} (\frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $\frac{5}{6} (\frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C)$ ở dạng $\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $\frac{5}{6}$ với $\frac{3}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Bước 7.2.2

Nhân $5$ với $3$ .

$\frac{15}{6 \cdot 5} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Bước 7.2.3

Nhân $6$ với $5$ .

$\frac{15}{30} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Bước 7.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $15$ và $30$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.1

Đưa $15$ ra ngoài $15$ .

$\frac{15 (1)}{30} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Bước 7.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.2.1

Đưa $15$ ra ngoài $30$ .

$\frac{15 \cdot 1}{15 \cdot 2} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Bước 7.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{15 \cdot 1}{15 \cdot 2} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Bước 7.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{5}{3}} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 + 2 u^{3}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 2 u^{3})}^{\frac{5}{3}} + C$