Giải tích Ví dụ

$\int_{2}^{\infty} 2 e^{- 2 x - 4} d x$

Bước 1

Viết tích phân ở dạng một giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} 2 e^{- 2 x - 4} d x$

Bước 2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{2}^{t} e^{- 2 x - 4} d x$

Bước 3

Giả sử $u = - 2 x - 4$ . Sau đó $d u = - 2 d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = - 2 x - 4$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $- 2 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x - 4]$

Bước 3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 2 x - 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 3.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 3.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 3.1.3.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 3.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$- 2 + 0$

Bước 3.1.4.2

Cộng $- 2$ và $0$ .

$- 2$

Bước 3.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = - 2 x - 4$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 2 - 4$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $- 2$ với $2$ .

$u_{lower} = - 4 - 4$

Bước 3.3.2

Trừ $4$ khỏi $- 4$ .

$u_{lower} = - 8$

Bước 3.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = - 2 x - 4$ .

$u_{upper} = - 2 t - 4$

Bước 3.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 8$

$u_{upper} = - 2 t - 4$

Bước 3.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Bước 4.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$lim_{t \to \infty} 2 (- \int_{- 8}^{- 2 t - 4} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Bước 6

Nhân $- 1$ với $2$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 \int_{- 8}^{- 2 t - 4} \frac{e^{u}}{2} d u$

Bước 7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$lim_{t \to \infty} - 2 (\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Bước 8.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Bước 8.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Bước 8.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Bước 8.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1}{1} \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Bước 8.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \int_{- 8}^{- 2 t - 4} e^{u} d u$

Bước 9

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{u}]_{- 8}^{- 2 t - 4})$

Bước 10

Tính $e^{u}$ tại $- 2 t - 4$ và tại $- 8$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- 2 t - 4} - e^{- 8})$

Bước 11

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$- lim_{t \to \infty} e^{- 2 t - 4} - e^{- 8}$

Bước 11.1.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$- (lim_{t \to \infty} e^{- 2 t - 4} - lim_{t \to \infty} e^{- 8})$

Bước 11.2

Vì số mũ $- 2 t - 4$ tiến dần đến $- \infty$ , nên số lượng $e^{- 2 t - 4}$ tiến dần đến $0$ .

$- (0 - lim_{t \to \infty} e^{- 8})$

Bước 11.3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Tính giới hạn của $e^{- 8}$ mà không đổi khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$- (0 - e^{- 8})$

Bước 11.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (0 - \frac{1}{e^{8}})$

Bước 11.3.2.2

Trừ $\frac{1}{e^{8}}$ khỏi $0$ .

$- - \frac{1}{e^{8}}$

Bước 11.3.2.3

Nhân $- - \frac{1}{e^{8}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{1}{e^{8}}$

Bước 11.3.2.3.2

Nhân $\frac{1}{e^{8}}$ với $1$ .

$\frac{1}{e^{8}}$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{e^{8}}$

Dạng thập phân:

$0.00033546 \dots$