Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{1 + \cos^{2} (x)} d x$

Bước 1

Giả sử $u = \cos (x)$ . Sau đó $d u = - \sin (x) d x$ , nên $- d u = \sin (x) d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \cos (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Bước 1.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Bước 1.5

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$u_{upper} = 0$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{0} \frac{- 1}{1 + u^{2}} d u$

Bước 2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{1}^{0} \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Bước 4

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

Bước 5

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ đối với $u$ là $\arctan (u)]_{1}^{0}$ .

$- (\arctan (u)]_{1}^{0})$

Bước 6

Tính $\arctan (u)$ tại $0$ và tại $1$ .

$- (\arctan (0) - \arctan (1))$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Giá trị chính xác của $\arctan (0)$ là $0$ .

$- (0 - \arctan (1))$

Bước 7.1.2

Giá trị chính xác của $\arctan (1)$ là $\frac{π}{4}$ .

$- (0 - \frac{π}{4})$

Bước 7.2

Trừ $\frac{π}{4}$ khỏi $0$ .

$- - \frac{π}{4}$

Bước 7.3

Nhân $- - \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{π}{4}$

Bước 7.3.2

Nhân $\frac{π}{4}$ với $1$ .

$\frac{π}{4}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{π}{4}$

Dạng thập phân:

$0.78539816 \dots$