Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 2$ on $[- 3, 1]$

Bước 1

Tìm các điểm tới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} - 8 x^{2} + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Vì $- 8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 8 x^{2}$ đối với $x$ là $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 x^{3} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.1.1.2.3

Nhân $2$ với $- 8$ .

$4 x^{3} - 16 x + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$4 x^{3} - 16 x + 0$

Bước 1.1.1.3.2

Cộng $4 x^{3} - 16 x$ và $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x$

Bước 1.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $4 x^{3} - 16 x$ .

$4 x^{3} - 16 x$

Bước 1.2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $4 x^{3} - 16 x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$4 x^{3} - 16 x = 0$

Bước 1.2.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 x^{3} - 16 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.1

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 16 x = 0$

Bước 1.2.2.1.2

Đưa $4 x$ ra ngoài $- 16 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) = 0$

Bước 1.2.2.1.3

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ .

$4 x (x^{2} - 4) = 0$

Bước 1.2.2.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Bước 1.2.2.3

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.3.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 2$ .

$4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Bước 1.2.2.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Bước 1.2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Bước 1.2.4

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 1.2.5

Đặt $x + 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Đặt $x + 2$ bằng với $0$ .

$x + 2 = 0$

Bước 1.2.5.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 2$

Bước 1.2.6

Đặt $x - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Đặt $x - 2$ bằng với $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 1.2.6.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 1.2.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ đúng.

$x = 0, - 2, 2$

Bước 1.3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 1.4

Tính $x^{4} - 8 x^{2} + 2$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Thay $0$ bằng $x$ .

${(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 2$

Bước 1.4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 - 8 {(0)}^{2} + 2$

Bước 1.4.1.2.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 - 8 \cdot 0 + 2$

Bước 1.4.1.2.1.3

Nhân $- 8$ với $0$ .

$0 + 0 + 2$

Bước 1.4.1.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$0 + 2$

Bước 1.4.1.2.2.2

Cộng $0$ và $2$ .

$2$

Bước 1.4.2

Tính giá trị tại $x = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Thay $- 2$ bằng $x$ .

${(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 2$

Bước 1.4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $4$ .

$16 - 8 {(- 2)}^{2} + 2$

Bước 1.4.2.2.1.2

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$16 - 8 \cdot 4 + 2$

Bước 1.4.2.2.1.3

Nhân $- 8$ với $4$ .

$16 - 32 + 2$

Bước 1.4.2.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.2.1

Trừ $32$ khỏi $16$ .

$- 16 + 2$

Bước 1.4.2.2.2.2

Cộng $- 16$ và $2$ .

$- 14$

Bước 1.4.3

Tính giá trị tại $x = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.1

Thay $2$ bằng $x$ .

${(2)}^{4} - 8 {(2)}^{2} + 2$

Bước 1.4.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$16 - 8 {(2)}^{2} + 2$

Bước 1.4.3.2.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$16 - 8 \cdot 4 + 2$

Bước 1.4.3.2.1.3

Nhân $- 8$ với $4$ .

$16 - 32 + 2$

Bước 1.4.3.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.2.2.1

Trừ $32$ khỏi $16$ .

$- 16 + 2$

Bước 1.4.3.2.2.2

Cộng $- 16$ và $2$ .

$- 14$

Bước 1.4.4

Liệt kê tất cả các điểm.

$(0, 2), (- 2, - 14), (2, - 14)$

Bước 2

Bỏ các điểm không nằm trong khoảng đang xét ra.

$(0, 2), (- 2, - 14)$

Bước 3

Dùng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất để xác định các điểm cực đại hoặc cực tiểu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Bước 3.2

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 4$ , từ khoảng $(- \infty, - 2)$ trong đạo hàm đầu tiên $4 x^{3} - 16 x$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 4$ trong biểu thức.

$f' (- 4) = 4 {(- 4)}^{3} - 16 \cdot - 4$

Bước 3.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- 4) = 4 \cdot - 64 - 16 \cdot - 4$

Bước 3.2.2.1.2

Nhân $4$ với $- 64$ .

$f' (- 4) = - 256 - 16 \cdot - 4$

Bước 3.2.2.1.3

Nhân $- 16$ với $- 4$ .

$f' (- 4) = - 256 + 64$

Bước 3.2.2.2

Cộng $- 256$ và $64$ .

$f' (- 4) = - 192$

Bước 3.2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 192$ .

$- 192$

Bước 3.3

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 1$ , từ khoảng $(- 2, 0)$ trong đạo hàm đầu tiên $4 x^{3} - 16 x$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f' (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} - 16 \cdot - 1$

Bước 3.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- 1) = 4 \cdot - 1 - 16 \cdot - 1$

Bước 3.3.2.1.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 - 16 \cdot - 1$

Bước 3.3.2.1.3

Nhân $- 16$ với $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 + 16$

Bước 3.3.2.2

Cộng $- 4$ và $16$ .

$f' (- 1) = 12$

Bước 3.3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $12$ .

$12$

Bước 3.4

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $1$ , từ khoảng $(0, 2)$ trong đạo hàm đầu tiên $4 x^{3} - 16 x$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = 4 {(1)}^{3} - 16 \cdot 1$

Bước 3.4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = 4 \cdot 1 - 16 \cdot 1$

Bước 3.4.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$f' (1) = 4 - 16 \cdot 1$

Bước 3.4.2.1.3

Nhân $- 16$ với $1$ .

$f' (1) = 4 - 16$

Bước 3.4.2.2

Trừ $16$ khỏi $4$ .

$f' (1) = - 12$

Bước 3.4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 12$ .

$- 12$

Bước 3.5

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $4$ , từ khoảng $(2, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $4 x^{3} - 16 x$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Thay thế biến $x$ bằng $4$ trong biểu thức.

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 16 \cdot 4$

Bước 3.5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1

Nhân $4$ với ${(4)}^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1.1

Nhân $4$ với ${(4)}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 16 \cdot 4$

Bước 3.5.2.1.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (4) = 4^{1 + 3} - 16 \cdot 4$

Bước 3.5.2.1.1.2

Cộng $1$ và $3$ .

$f' (4) = 4^{4} - 16 \cdot 4$

Bước 3.5.2.1.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $4$ .

$f' (4) = 256 - 16 \cdot 4$

Bước 3.5.2.1.3

Nhân $- 16$ với $4$ .

$f' (4) = 256 - 64$

Bước 3.5.2.2

Trừ $64$ khỏi $256$ .

$f' (4) = 192$

Bước 3.5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $192$ .

$192$

Bước 3.6

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương xung quanh $x = - 2$ , nên $x = - 2$ là một cực tiểu địa phương.

$x = - 2$ là cực tiểu địa phương

Bước 3.7

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm xung quanh $x = 0$ , nên $x = 0$ là một cực đại địa phương.

$x = 0$ là cực đại địa phương

Bước 3.8

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương xung quanh $x = 2$ , nên $x = 2$ là một cực tiểu địa phương.

$x = 2$ là cực tiểu địa phương

Bước 3.9

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 2$ .

$x = - 2$ là cực tiểu địa phương

$x = 0$ là cực đại địa phương

$x = 2$ là cực tiểu địa phương

$x = - 2$ là cực tiểu địa phương

$x = 0$ là cực đại địa phương

$x = 2$ là cực tiểu địa phương

Bước 4

So sánh các giá trị $f (x)$ tìm được với mỗi giá trị của $x$ để xác định cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối trên khoảng đã cho. Cực đại sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ cao nhất và cực tiểu sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ thấp nhất.

Cực đại tuyệt đối: $(0, 2)$

Cực tiểu tuyệt đối: $(- 2, - 14)$

Bước 5