Giải tích Ví dụ

$x \ln (x + 2)$

Bước 1

Viết $x \ln (x + 2)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x \ln (x + 2)$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int x \ln (x + 2) d x$

Bước 4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (x + 2)$ và $d v = x$ .

$\ln (x + 2) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 2} d x$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\ln (x + 2) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 2} d x$

Bước 5.2

Kết hợp $\ln (x + 2)$ và $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 2} d x$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\ln (x + 2) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x + 2} d x)$

Bước 7

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{x + 2}$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x + 2} d x$

Bước 8

Chia $x^{2}$ cho $x + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Bước 8.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

					$x$
	$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Bước 8.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$

Bước 8.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{2} + 2 x$

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$

Bước 8.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$

Bước 8.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	+	$0$

Bước 8.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- 2 x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	+	$0$

Bước 8.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	+	$0$
					-	$2 x$	-	$4$

Bước 8.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- 2 x - 4$

				$x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	+	$0$
					+	$2 x$	+	$4$

Bước 8.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	+	$0$
					+	$2 x$	+	$4$
							+	$4$

Bước 8.11

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\frac{\ln (x + 2) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x - 2 + \frac{4}{x + 2} d x$

Bước 9

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{\ln (x + 2) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\int x d x + \int - 2 d x + \int \frac{4}{x + 2} d x)$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 d x + \int \frac{4}{x + 2} d x)$

Bước 11

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{\ln (x + 2) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int \frac{4}{x + 2} d x)$

Bước 12

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\ln (x + 2) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + 4 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

Bước 13

Giả sử $u = x + 2$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Hãy đặt $u = x + 2$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Tính đạo hàm $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Bước 13.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 13.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 13.1.4

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 13.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 13.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + 4 \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 14

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + 4 (\ln (| u |) + C))$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn.

$\frac{1}{2} \ln (x + 2) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 4 \ln (| u |)) + C$

Bước 15.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\ln (x + 2)$ .

$\frac{\ln (x + 2)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 4 \ln (| u |)) + C$

Bước 15.2.2

Kết hợp $\frac{\ln (x + 2)}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 4 \ln (| u |)) + C$

Bước 15.2.3

Để viết $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 4 \ln (| u |))$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 4 \ln (| u |)) \cdot \frac{2}{2} + C$

Bước 15.2.4

Kết hợp $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 4 \ln (| u |))$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2}}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 4 \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Bước 15.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\ln (x + 2) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 4 \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Bước 15.2.6

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Bước 15.2.7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \ln (| u |))}{2} + C$

Bước 15.2.8

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2} + \frac{- 2}{2} (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \ln (| u |))}{2} + C$

Bước 15.2.9

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.9.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \ln (| u |))}{2} + C$

Bước 15.2.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.9.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \ln (| u |))}{2} + C$

Bước 15.2.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (x + 2) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \ln (| u |))}{2} + C$

Bước 15.2.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\ln (x + 2) x^{2} + \frac{- 1}{1} (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \ln (| u |))}{2} + C$

Bước 15.2.9.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \ln (| u |))}{2} + C$

Bước 16

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 2$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \ln (| x + 2 |))}{2} + C$

Bước 17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Để viết $4 \ln (| x + 2 |)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2} - (- 2 x + \frac{x^{2}}{2} + 4 \ln (| x + 2 |) \cdot \frac{2}{2})}{2} + C$

Bước 17.2

Kết hợp $4 \ln (| x + 2 |)$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2} - (- 2 x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{4 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

Bước 17.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\ln (x + 2) x^{2} - (- 2 x + \frac{x^{2} + 4 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

Bước 17.4

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2} - (- 2 x + \frac{x^{2} + 8 \ln (| x + 2 |)}{2})}{2} + C$

Bước 17.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\ln (x + 2) x^{2} - (- 2 x) - \frac{x^{2} + 8 \ln (| x + 2 |)}{2}}{2} + C$

Bước 17.6

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2} + 2 x - \frac{x^{2} + 8 \ln (| x + 2 |)}{2}}{2} + C$

Bước 18

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} (\ln (x + 2) x^{2} + 2 x - \frac{1}{2} (x^{2} + 8 \ln (| x + 2 |))) + C$

Bước 19

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = x \ln (x + 2)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\ln (x + 2) x^{2} + 2 x - \frac{1}{2} (x^{2} + 8 \ln (| x + 2 |))) + C$