Giải tích Ví dụ

$x e^{x} d x$

Bước 1

Viết $x e^{x} d x$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x e^{x} d x$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int x e^{x} d x d x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int x^{1} x e^{x} d d x$

Bước 4.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int x^{1} x^{1} e^{x} d d x$

Bước 4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{1 + 1} e^{x} d d x$

Bước 4.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\int x^{2} e^{x} d d x$

Bước 5

Vì $d$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $d$ ra khỏi tích phân.

$d \int x^{2} e^{x} d x$

Bước 6

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{2}$ và $d v = e^{x}$ .

$d (x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x)$

Bước 7

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$d (x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x))$

Bước 8

Nhân $2$ với $- 1$ .

$d (x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x)$

Bước 9

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{x}$ .

$d (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x))$

Bước 10

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$d (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$

Bước 11

Viết lại $d (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$ ở dạng $d (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ .

$d (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$

Bước 12

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = x e^{x} d x$ .

$F (x) =$ $d (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$