Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 4 \sec^{4} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Bước 1

Vì $4$ không đổi đối với $θ$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Bước 2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2$ cộng $2$

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (θ)}^{2 + 2} \tan^{4} (θ) d θ$

Bước 2.2

Viết lại ${\sec (θ)}^{2 + 2}$ ở dạng $\sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Bước 3

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sec^{2} (θ)$ ở dạng $1 + \tan^{2} (θ)$ .

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (θ)) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Bước 4

Giả sử $u = \tan (θ)$ . Sau đó $d u = \sec^{2} (θ) d θ$ , nên $\frac{1}{\sec^{2} (θ)} d u = d θ$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = \tan (θ)$ . Tìm $\frac{d u}{d θ}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $\tan (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Bước 4.1.2

Đạo hàm của $\tan (θ)$ đối với $θ$ là $\sec^{2} (θ)$ .

$\sec^{2} (θ)$

Bước 4.2

Thay giới hạn dưới vào cho $θ$ trong $u = \tan (θ)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Bước 4.3

Giá trị chính xác của $\tan (0)$ là $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 4.4

Thay giới hạn trên vào cho $θ$ trong $u = \tan (θ)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

Bước 4.5

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 4.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Bước 4.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$4 \int_{0}^{1} (1 + u^{2}) u^{4} d u$

Bước 5

Nhân $(1 + u^{2}) u^{4}$ .

$4 \int_{0}^{1} 1 u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $u^{4}$ với $1$ .

$4 \int_{0}^{1} u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Bước 6.2

Nhân $u^{2}$ với $u^{4}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 \int_{0}^{1} u^{4} + u^{2 + 4} d u$

Bước 6.2.2

Cộng $2$ và $4$ .

$4 \int_{0}^{1} u^{4} + u^{6} d u$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$4 (\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} u^{6} d u)$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{4}$ đối với $u$ là $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$4 (\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{6} d u)$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $u^{5}$ .

$4 (\frac{u^{5}}{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{6} d u)$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{6}$ đối với $u$ là $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$4 (\frac{u^{5}}{5}]_{0}^{1} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1})$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Kết hợp $\frac{u^{5}}{5}]_{0}^{1}$ và $\frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$ .

$4 (\frac{u^{5}}{5} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1})$

Bước 11.2

Kết hợp $\frac{1}{7}$ và $u^{7}$ .

$4 (\frac{u^{5}}{5} + \frac{u^{7}}{7}]_{0}^{1})$

Bước 12

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính $\frac{u^{5}}{5} + \frac{u^{7}}{7}$ tại $1$ và tại $0$ .

$4 ((\frac{1^{5}}{5} + \frac{1^{7}}{7}) - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Bước 12.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$4 (\frac{1}{5} + \frac{1^{7}}{7} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Bước 12.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$4 (\frac{1}{5} + \frac{1}{7} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Bước 12.2.3

Để viết $\frac{1}{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{7}{7}$ .

$4 (\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Bước 12.2.4

Để viết $\frac{1}{7}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$4 (\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Bước 12.2.5

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $35$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.5.1

Nhân $\frac{1}{5}$ với $\frac{7}{7}$ .

$4 (\frac{7}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Bước 12.2.5.2

Nhân $5$ với $7$ .

$4 (\frac{7}{35} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Bước 12.2.5.3

Nhân $\frac{1}{7}$ với $\frac{5}{5}$ .

$4 (\frac{7}{35} + \frac{5}{7 \cdot 5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Bước 12.2.5.4

Nhân $7$ với $5$ .

$4 (\frac{7}{35} + \frac{5}{35} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Bước 12.2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 (\frac{7 + 5}{35} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Bước 12.2.7

Cộng $7$ và $5$ .

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Bước 12.2.8

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{0}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Bước 12.2.9

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.9.1

Đưa $5$ ra ngoài $0$ .

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{5 (0)}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

Bước 12.2.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.9.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + \frac{0^{7}}{7}))$

Bước 12.2.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + \frac{0^{7}}{7}))$

Bước 12.2.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{0}{1} + \frac{0^{7}}{7}))$

Bước 12.2.9.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{0^{7}}{7}))$

Bước 12.2.10

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{0}{7}))$

Bước 12.2.11

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.11.1

Đưa $7$ ra ngoài $0$ .

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{7 (0)}{7}))$

Bước 12.2.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.11.2.1

Đưa $7$ ra ngoài $7$ .

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}))$

Bước 12.2.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}))$

Bước 12.2.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{0}{1}))$

Bước 12.2.11.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$4 (\frac{12}{35} - (0 + 0))$

Bước 12.2.12

Cộng $0$ và $0$ .

$4 (\frac{12}{35} - 0)$

Bước 12.2.13

Nhân $- 1$ với $0$ .

$4 (\frac{12}{35} + 0)$

Bước 12.2.14

Cộng $\frac{12}{35}$ và $0$ .

$4 (\frac{12}{35})$

Bước 12.2.15

Kết hợp $4$ và $\frac{12}{35}$ .

$\frac{4 \cdot 12}{35}$

Bước 12.2.16

Nhân $4$ với $12$ .

$\frac{48}{35}$

Bước 13

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{48}{35}$

Dạng thập phân:

$1.37142857 \dots$

Dạng hỗn số:

$1 \frac{13}{35}$