Giải tích Ví dụ

$\int 6 (3 x + 1) e^{15 x^{2} + 10 x - 15} d x$

Bước 1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$6 \int (3 x + 1) e^{15 x^{2} + 10 x - 15} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 15 x^{2} + 10 x - 15$ . Sau đó $d u = (30 x + 10) d x$ , nên $\frac{1}{10} d u = (3 x + 1) d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 15 x^{2} + 10 x - 15$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $15 x^{2} + 10 x - 15$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{2} + 10 x - 15]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $15 x^{2} + 10 x - 15$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $15$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $15 x^{2}$ đối với $x$ là $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$15 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Bước 2.1.3.3

Nhân $2$ với $15$ .

$30 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Bước 2.1.4

Tính $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Vì $10$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $10 x$ đối với $x$ là $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Bước 2.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$30 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 15]$

Bước 2.1.4.3

Nhân $10$ với $1$ .

$30 x + 10 + \frac{d}{d x} [- 15]$

Bước 2.1.5

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.1

Vì $- 15$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 15$ đối với $x$ là $0$ .

$30 x + 10 + 0$

Bước 2.1.5.2

Cộng $30 x + 10$ và $0$ .

$30 x + 10$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$6 \int e^{u} \frac{1}{10} d u$

Bước 3

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{10}$ .

$6 \int \frac{e^{u}}{10} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{10}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{10}$ ra khỏi tích phân.

$6 (\frac{1}{10} \int e^{u} d u)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{10}$ và $6$ .

$\frac{6}{10} \int e^{u} d u$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 (3)}{10} \int e^{u} d u$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $10$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Bước 5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{5} \int e^{u} d u$

Bước 6

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\frac{3}{5} (e^{u} + C)$

Bước 7

Rút gọn.

$\frac{3}{5} e^{u} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $15 x^{2} + 10 x - 15$ .

$\frac{3}{5} e^{15 x^{2} + 10 x - 15} + C$