Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Bước 1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $4$ ở dạng $2$ cộng $2$

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (θ)}^{2 + 2} \tan^{4} (θ) d θ$

Bước 1.2

Viết lại ${\sec (θ)}^{2 + 2}$ ở dạng $\sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Bước 2

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sec^{2} (θ)$ ở dạng $1 + \tan^{2} (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (θ)) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

Bước 3

Giả sử $u = \tan (θ)$ . Sau đó $d u = \sec^{2} (θ) d θ$ , nên $\frac{1}{\sec^{2} (θ)} d u = d θ$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = \tan (θ)$ . Tìm $\frac{d u}{d θ}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $\tan (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\tan (θ)$ đối với $θ$ là $\sec^{2} (θ)$ .

$\sec^{2} (θ)$

Bước 3.2

Thay giới hạn dưới vào cho $θ$ trong $u = \tan (θ)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Bước 3.3

Giá trị chính xác của $\tan (0)$ là $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 3.4

Thay giới hạn trên vào cho $θ$ trong $u = \tan (θ)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

Bước 3.5

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 3.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Bước 3.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{1} (1 + u^{2}) u^{4} d u$

Bước 4

Nhân $(1 + u^{2}) u^{4}$ .

$\int_{0}^{1} 1 u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $u^{4}$ với $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

Bước 5.2

Nhân $u^{2}$ với $u^{4}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{2 + 4} d u$

Bước 5.2.2

Cộng $2$ và $4$ .

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{6} d u$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} u^{6} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{4}$ đối với $u$ là $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{6} d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{6}$ đối với $u$ là $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1}$ và $\frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$

Bước 10

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính $\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7}$ tại $1$ và tại $0$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7}) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Bước 10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{5} \cdot 1 + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Bước 10.2.2

Nhân $\frac{1}{5}$ với $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Bước 10.2.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Bước 10.2.4

Nhân $\frac{1}{7}$ với $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Bước 10.2.5

Để viết $\frac{1}{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Bước 10.2.6

Để viết $\frac{1}{7}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Bước 10.2.7

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $35$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.7.1

Nhân $\frac{1}{5}$ với $\frac{7}{7}$ .

$\frac{7}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Bước 10.2.7.2

Nhân $5$ với $7$ .

$\frac{7}{35} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Bước 10.2.7.3

Nhân $\frac{1}{7}$ với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{7}{35} + \frac{5}{7 \cdot 5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Bước 10.2.7.4

Nhân $7$ với $5$ .

$\frac{7}{35} + \frac{5}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Bước 10.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{7 + 5}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Bước 10.2.9

Cộng $7$ và $5$ .

$\frac{12}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Bước 10.2.10

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{12}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0 + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Bước 10.2.11

Nhân $\frac{1}{5}$ với $0$ .

$\frac{12}{35} - (0 + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Bước 10.2.12

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{12}{35} - (0 + \frac{1}{7} \cdot 0)$

Bước 10.2.13

Nhân $\frac{1}{7}$ với $0$ .

$\frac{12}{35} - (0 + 0)$

Bước 10.2.14

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{12}{35} - 0$

Bước 10.2.15

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{12}{35} + 0$

Bước 10.2.16

Cộng $\frac{12}{35}$ và $0$ .

$\frac{12}{35}$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{12}{35}$

Dạng thập phân:

$0.3\overline{428571}$