Giải tích Ví dụ

$\sqrt{x} + \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x}$

Bước 1

Viết $\sqrt{x} + \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \sqrt{x} + \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \sqrt{x} + \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x} d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \sqrt{x} d x + \int \sqrt[3]{x} d x + \int \sqrt[4]{x} d x$

Bước 5

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} d x + \int \sqrt[3]{x} d x + \int \sqrt[4]{x} d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int \sqrt[3]{x} d x + \int \sqrt[4]{x} d x$

Bước 7

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int x^{\frac{1}{3}} d x + \int \sqrt[4]{x} d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int \sqrt[4]{x} d x$

Bước 9

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[4]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int x^{\frac{1}{4}} d x$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{4}}$ đối với $x$ là $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C$

Bước 11

Rút gọn.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C$

Bước 12

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sqrt{x} + \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C$