Giải tích Ví dụ

$y^{2} + x^{2} = - x y + 3$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y^{2} + x^{2}) = \frac{d}{d x} (- x y + 3)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{2} + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 y y' + 2 x$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- x y + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x y$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.2.5

Nhân $y$ với $1$ .

$- (x y' + y) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3.3

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$- (x y' + y) + 0$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- (x y') - y + 0$

Bước 3.4.2

Cộng $- x y' - y$ và $0$ .

$- x y' - y$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$2 y y' + 2 x = - x y' - y$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cộng $x y'$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 y y' + 2 x + x y' = - y$

Bước 5.2

Trừ $2 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 y y' + x y' = - y - 2 x$

Bước 5.3

Đưa $y'$ ra ngoài $2 y y' + x y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $y'$ ra ngoài $2 y y'$ .

$y' (2 y) + x (y') = - y - 2 x$

Bước 5.3.2

Đưa $y'$ ra ngoài $x y'$ .

$y' (2 y) + y' (x) = - y - 2 x$

Bước 5.3.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (2 y) + y' (x)$ .

$y' (2 y + x) = - y - 2 x$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $y' (2 y + x) = - y - 2 x$ cho $2 y + x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (2 y + x) = - y - 2 x$ cho $2 y + x$ .

$\frac{y' (2 y + x)}{2 y + x} = \frac{- y}{2 y + x} + \frac{- 2 x}{2 y + x}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2 y + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (2 y + x)}{2 y + x} = \frac{- y}{2 y + x} + \frac{- 2 x}{2 y + x}$

Bước 5.4.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- y}{2 y + x} + \frac{- 2 x}{2 y + x}$

Bước 5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{- y - 2 x}{2 y + x}$

Bước 5.4.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- y$ .

$y' = \frac{- (y) - 2 x}{2 y + x}$

Bước 5.4.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (y) - (2 x)}{2 y + x}$

Bước 5.4.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (y) - (2 x)$ .

$y' = \frac{- (y + 2 x)}{2 y + x}$

Bước 5.4.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.5.1

Viết lại $- (y + 2 x)$ ở dạng $- 1 (y + 2 x)$ .

$y' = \frac{- 1 (y + 2 x)}{2 y + x}$

Bước 5.4.3.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{y + 2 x}{2 y + x}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y + 2 x}{2 y + x}$