Giải tích Ví dụ

$y' = 2 x y$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân.

$\frac{d y}{d x} = 2 x y$

Bước 2

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (2 x y)$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y} (x y)$

Bước 2.2.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (x y)$

Bước 2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y x)$

Bước 2.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y x)$

Bước 2.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Bước 2.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = 2 x d x$

Bước 3

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 2 x d x$

Bước 3.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Bước 3.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int x d x$

Bước 3.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Bước 3.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Viết lại $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ ở dạng $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Bước 3.3.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Bước 3.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Bước 3.3.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Bước 3.3.3.2.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Bước 3.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = x^{2} + C$

Bước 4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{x^{2} + C}$

Bước 4.2

Viết lại $\ln (| y |) = x^{2} + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + C} = | y |$

Bước 4.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{x^{2} + C}$

Bước 4.3.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x^{2} + C}$

Bước 5

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $e^{x^{2} + C}$ ở dạng $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x^{2}} e^{C}$

Bước 5.2

Sắp xếp lại $e^{x^{2}}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x^{2}}$

Bước 5.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{x^{2}}$