Giải tích Ví dụ

$\int_{3}^{5} \frac{3 x + 5}{x^{2} + 2 x - 3} d x$

Bước 1

Viết phân số bằng cách khai triển phân số từng phần.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia nhỏ phân số và nhân với mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Phân tích $x^{2} + 2 x - 3$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 3$ và tổng của chúng là $2$ .

$- 1, 3$

Bước 1.1.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$\frac{3 x + 5}{(x - 1) (x + 3)}$

Bước 1.1.2

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Bước 1.1.3

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $B$ .

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$

Bước 1.1.4

Nhân mỗi phân số trong phương trình với mẫu của của biểu thức ban đầu. Trong trường hợp này, mẫu số là $(x - 1) (x + 3)$ .

$\frac{(3 x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Bước 1.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(3 x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Bước 1.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{(3 x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Bước 1.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $x + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(3 x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Bước 1.1.6.2

Chia $3 x + 5$ cho $1$ .

$3 x + 5 = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Bước 1.1.7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.1

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 x + 5 = \frac{A (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Bước 1.1.7.1.2

Chia $(A) (x + 3)$ cho $1$ .

$3 x + 5 = (A) (x + 3) + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Bước 1.1.7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 x + 5 = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Bước 1.1.7.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $A$ .

$3 x + 5 = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Bước 1.1.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $x + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 x + 5 = A x + 3 A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Bước 1.1.7.4.2

Chia $(B) (x - 1)$ cho $1$ .

$3 x + 5 = A x + 3 A + (B) (x - 1)$

Bước 1.1.7.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 x + 5 = A x + 3 A + B x + B \cdot - 1$

Bước 1.1.7.6

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $B$ .

$3 x + 5 = A x + 3 A + B x - 1 \cdot B$

Bước 1.1.7.7

Viết lại $- 1 B$ ở dạng $- B$ .

$3 x + 5 = A x + 3 A + B x - B$

Bước 1.1.8

Di chuyển $3 A$ .

$3 x + 5 = A x + B x + 3 A - B$

Bước 1.2

Tạo các phương trình cho các biến của phân số từng phần và sử dụng chúng để lập một hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của $x$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$3 = A + B$

Bước 1.2.2

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của các số hạng không chứa $x$ bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$5 = 3 A - 1 B$

Bước 1.2.3

Lập hệ phương trình để tìm hệ số của các phân số từng phần.

$3 = A + B$

$5 = 3 A - 1 B$

$3 = A + B$

$5 = 3 A - 1 B$

Bước 1.3

Giải hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Giải tìm $A$ trong $3 = A + B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Viết lại phương trình ở dạng $A + B = 3$ .

$A + B = 3$

$5 = 3 A - 1 B$

Bước 1.3.1.2

Trừ $B$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$A = 3 - B$

$5 = 3 A - 1 B$

$A = 3 - B$

$5 = 3 A - 1 B$

Bước 1.3.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ bằng $3 - B$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ trong $5 = 3 A - 1 B$ bằng $3 - B$ .

$5 = 3 (3 - B) - 1 B$

$A = 3 - B$

Bước 1.3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1

Rút gọn $3 (3 - B) - 1 B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 = 3 \cdot 3 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 3 - B$

Bước 1.3.2.2.1.1.2

Nhân $3$ với $3$ .

$5 = 9 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 3 - B$

Bước 1.3.2.2.1.1.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$5 = 9 - 3 B - 1 B$

$A = 3 - B$

Bước 1.3.2.2.1.1.4

Viết lại $- 1 B$ ở dạng $- B$ .

$5 = 9 - 3 B - B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 3 B - B$

$A = 3 - B$

Bước 1.3.2.2.1.2

Trừ $B$ khỏi $- 3 B$ .

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

Bước 1.3.3

Giải tìm $B$ trong $5 = 9 - 4 B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $9 - 4 B = 5$ .

$9 - 4 B = 5$

$A = 3 - B$

Bước 1.3.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $B$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.2.1

Trừ $9$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 4 B = 5 - 9$

$A = 3 - B$

Bước 1.3.3.2.2

Trừ $9$ khỏi $5$ .

$- 4 B = - 4$

$A = 3 - B$

$- 4 B = - 4$

$A = 3 - B$

Bước 1.3.3.3

Chia mỗi số hạng trong $- 4 B = - 4$ cho $- 4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- 4 B = - 4$ cho $- 4$ .

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

Bước 1.3.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

Bước 1.3.3.3.2.1.2

Chia $B$ cho $1$ .

$B = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

Bước 1.3.3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.3.3.1

Chia $- 4$ cho $- 4$ .

$B = 1$

$A = 3 - B$

$B = 1$

$A = 3 - B$

$B = 1$

$A = 3 - B$

$B = 1$

$A = 3 - B$

Bước 1.3.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ bằng $1$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ trong $A = 3 - B$ bằng $1$ .

$A = 3 - (1)$

$B = 1$

Bước 1.3.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.2.1

Rút gọn $3 - (1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.2.1.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$A = 3 - 1$

$B = 1$

Bước 1.3.4.2.1.2

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$A = 2$

$B = 1$

$A = 2$

$B = 1$

$A = 2$

$B = 1$

$A = 2$

$B = 1$

Bước 1.3.5

Liệt kê tất cả các đáp án.

$A = 2, B = 1$

Bước 1.4

Thay thế từng hệ số phân số từng phần trong $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$ bằng các giá trị tìm được cho $A$ và $B$ .

$\frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x + 3}$

Bước 1.5

Loại bỏ số 0 từ biểu thức.

$\int_{3}^{5} \frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x + 3} d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{3}^{5} \frac{2}{x - 1} d x + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

Bước 3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{3}^{5} \frac{1}{x - 1} d x + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

Bước 4

Giả sử $u_{1} = x - 1$ . Sau đó $d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u_{1} = x - 1$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 4.1.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 4.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 4.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{1} = x - 1$ .

$u_{lower} = 3 - 1$

Bước 4.3

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$u_{lower} = 2$

Bước 4.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{1} = x - 1$ .

$u_{upper} = 5 - 1$

Bước 4.5

Trừ $1$ khỏi $5$ .

$u_{upper} = 4$

Bước 4.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 4$

Bước 4.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ , $d u_{1}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$2 \int_{2}^{4} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

Bước 5

Tích phân của $\frac{1}{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{2}^{4}) + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

Bước 6

Giả sử $u_{2} = x + 3$ . Sau đó $d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u_{2} = x + 3$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Bước 6.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 6.1.4

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 6.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 6.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{2} = x + 3$ .

$u_{lower} = 3 + 3$

Bước 6.3

Cộng $3$ và $3$ .

$u_{lower} = 6$

Bước 6.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{2} = x + 3$ .

$u_{upper} = 5 + 3$

Bước 6.5

Cộng $5$ và $3$ .

$u_{upper} = 8$

Bước 6.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 8$

Bước 6.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{2}^{4}) + \int_{6}^{8} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 7

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{2}^{4}) + \ln (| u_{2} |)]_{6}^{8}$

Bước 8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $\ln (| u_{1} |)$ tại $4$ và tại $2$ .

$2 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |)) + \ln (| u_{2} |)]_{6}^{8}$

Bước 8.2

Tính $\ln (| u_{2} |)$ tại $8$ và tại $6$ .

$2 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |)) + (\ln (| 8 |)) - \ln (| 6 |)$

Bước 8.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 2 |)) + \ln (| 8 |) - \ln (| 6 |)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |}) + \ln (| 8 |) - \ln (| 6 |)$

Bước 9.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |}) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $4$ là $4$ .

$2 \ln (\frac{4}{| 2 |}) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

Bước 10.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$2 \ln (\frac{4}{2}) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

Bước 10.3

Chia $4$ cho $2$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

Bước 10.4

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $8$ là $8$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{8}{| 6 |})$

Bước 10.5

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $6$ là $6$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{8}{6})$

Bước 10.6

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{2 (4)}{6})$

Bước 10.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3})$

Bước 10.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \ln (2) + \ln (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3})$

Bước 10.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 \ln (2) + \ln (\frac{4}{3})$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$2 \ln (2) + \ln (\frac{4}{3})$

Dạng thập phân:

$1.67397643 \dots$

Bước 12