Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 1 - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 1 - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Viết lại.

$\frac{- 1}{1}$

Bước 1.1.2

Chia $- 1$ cho $1$ .

$- 1$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 1 - x$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Bước 1.3

Trừ $0$ khỏi $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 1 - x$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 3$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$u_{upper} = 1 - 3$

Bước 1.5.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$u_{upper} = - 2$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 2$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{- 2} \frac{- 1}{u^{2}} d u$

Bước 2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{1}^{- 2} - \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{1}^{- 2} \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển $u^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- \int_{1}^{- 2} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Bước 4.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{1}^{- 2} u^{2 \cdot - 1} d u$

Bước 4.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- \int_{1}^{- 2} u^{- 2} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 2}$ đối với $u$ là $- u^{- 1}$ .

$- (- u^{- 1}]_{1}^{- 2})$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $- u^{- 1}$ tại $- 2$ và tại $1$ .

$- ((- {(- 2)}^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- \frac{1}{- 2} + 1^{- 1})$

Bước 6.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- (- - \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Bước 6.2.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- (1 (\frac{1}{2}) + 1^{- 1})$

Bước 6.2.4

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$- (\frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Bước 6.2.5

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- (\frac{1}{2} + 1)$

Bước 6.2.6

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- (\frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Bước 6.2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1 + 2}{2}$

Bước 6.2.8

Cộng $1$ và $2$ .

$- \frac{3}{2}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{3}{2}$

Dạng thập phân:

$- 1.5$

Dạng hỗn số:

$- 1 \frac{1}{2}$

Bước 8