Giải tích Ví dụ

$- y^{3} - 3 = 3 y^{2} + 4 x^{3}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (- y^{3} - 3) = \frac{d}{d x} (3 y^{2} + 4 x^{3})$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- y^{3} - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- y^{3}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$- (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.2.4

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$- 3 y^{2} y' + 0$

Bước 2.3.2

Cộng $- 3 y^{2} y'$ và $0$ .

$- 3 y^{2} y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 y^{2} + 4 x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 y^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Bước 3.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Bước 3.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$3 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Bước 3.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$3 (2 y y') + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Bước 3.2.4

Nhân $2$ với $3$ .

$6 y y' + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 y y' + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$6 y y' + 4 (3 x^{2})$

Bước 3.3.3

Nhân $3$ với $4$ .

$6 y y' + 12 x^{2}$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$12 x^{2} + 6 y y'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- 3 y^{2} y' = 12 x^{2} + 6 y y'$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Trừ $6 y y'$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 3 y^{2} y' - 6 y y' = 12 x^{2}$

Bước 5.2

Đưa $3 y y'$ ra ngoài $- 3 y^{2} y' - 6 y y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $3 y y'$ ra ngoài $- 3 y^{2} y'$ .

$3 y y' (- y) - 6 y y' = 12 x^{2}$

Bước 5.2.2

Đưa $3 y y'$ ra ngoài $- 6 y y'$ .

$3 y y' (- y) + 3 y y' \cdot - 2 = 12 x^{2}$

Bước 5.2.3

Đưa $3 y y'$ ra ngoài $3 y y' (- y) + 3 y y' \cdot - 2$ .

$3 y y' (- y - 2) = 12 x^{2}$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $3 y y' (- y - 2) = 12 x^{2}$ cho $3 y (- y - 2)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $3 y y' (- y - 2) = 12 x^{2}$ cho $3 y (- y - 2)$ .

$\frac{3 y y' (- y - 2)}{3 y (- y - 2)} = \frac{12 x^{2}}{3 y (- y - 2)}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y y' (- y - 2)}{3 y (- y - 2)} = \frac{12 x^{2}}{3 y (- y - 2)}$

Bước 5.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y y' (- y - 2)}{y (- y - 2)} = \frac{12 x^{2}}{3 y (- y - 2)}$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y y' (- y - 2)}{y (- y - 2)} = \frac{12 x^{2}}{3 y (- y - 2)}$

Bước 5.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' (- y - 2)}{- y - 2} = \frac{12 x^{2}}{3 y (- y - 2)}$

Bước 5.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $- y - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (- y - 2)}{- y - 2} = \frac{12 x^{2}}{3 y (- y - 2)}$

Bước 5.3.2.3.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{12 x^{2}}{3 y (- y - 2)}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $12 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (4 x^{2})}{3 y (- y - 2)}$

Bước 5.3.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 y (- y - 2)$ .

$y' = \frac{3 (4 x^{2})}{3 (y (- y - 2))}$

Bước 5.3.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{3 (4 x^{2})}{3 (y (- y - 2))}$

Bước 5.3.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{4 x^{2}}{y (- y - 2)}$

Bước 5.3.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- y$ .

$y' = \frac{4 x^{2}}{y (- (y) - 2)}$

Bước 5.3.3.3

Viết lại $- 2$ ở dạng $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{4 x^{2}}{y (- (y) - 1 (2))}$

Bước 5.3.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (y) - 1 (2)$ .

$y' = \frac{4 x^{2}}{y (- (y + 2))}$

Bước 5.3.3.5

Viết lại các số âm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.5.1

Viết lại $- (y + 2)$ ở dạng $- 1 (y + 2)$ .

$y' = \frac{4 x^{2}}{y (- 1 (y + 2))}$

Bước 5.3.3.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{4 x^{2}}{y (y + 2)}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x^{2}}{y (y + 2)}$