Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{3} \frac{x - 2}{x^{2} - 4 x} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x^{2} - 4 x$ . Sau đó $d u = (2 x - 4) d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = (x - 2) d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x^{2} - 4 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 4 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 x - 4 \cdot 1$

Bước 1.1.3.3

Nhân $- 4$ với $1$ .

$2 x - 4$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x^{2} - 4 x$ .

$u_{lower} = 1^{2} - 4 \cdot 1$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 1$

Bước 1.3.1.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$u_{lower} = 1 - 4$

Bước 1.3.2

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$u_{lower} = - 3$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x^{2} - 4 x$ .

$u_{upper} = 3^{2} - 4 \cdot 3$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{upper} = 9 - 4 \cdot 3$

Bước 1.5.1.2

Nhân $- 4$ với $3$ .

$u_{upper} = 9 - 12$

Bước 1.5.2

Trừ $12$ khỏi $9$ .

$u_{upper} = - 3$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 3$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Bước 2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{2 u} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{u} d u$

Bước 4

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{- 3}^{- 3}$

Bước 5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $\ln (| u |)$ tại $- 3$ và tại $- 3$ .

$\frac{1}{2} ((\ln (| - 3 |)) - \ln (| - 3 |))$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Trừ $\ln (| - 3 |)$ khỏi $\ln (| - 3 |)$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Bước 5.2.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $0$ .

$0$

Bước 6