Giải tích Ví dụ

$\int_{\frac{1}{12}}^{\frac{1}{4}} \csc (2 π t) \cot (2 π t) d t$

Bước 1

Giả sử $u_{2} = \csc (2 π t)$ . Sau đó $d u_{2} = - 2 π \cot (2 π t) \csc (2 π t) d t$ , nên $\frac{1}{- 2 π} d u_{2} = \cot (2 π t) \csc (2 π t) d t$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{2} = \csc (2 π t)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\csc (2 π t)$ .

$\frac{d}{d t} [\csc (2 π t)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \csc (t)$ và $g (t) = 2 π t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 π t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 π t]$

Bước 1.1.2.2

Đạo hàm của $\csc (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 π t]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 π t$ .

$- \csc (2 π t) \cot (2 π t) \frac{d}{d t} [2 π t]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $2 π$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 π t$ đối với $t$ là $2 π \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \csc (2 π t) \cot (2 π t) (2 π \frac{d}{d t} [t])$

Bước 1.1.3.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) (π \frac{d}{d t} [t])$

Bước 1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) (π \cdot 1)$

Bước 1.1.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.4.1

Nhân $π$ với $1$ .

$- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) π$

Bước 1.1.3.4.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- 2 \csc (2 π t) \cot (2 π t) π$ .

$- 2 π \cot (2 π t) \csc (2 π t)$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u_{2} = \csc (2 π t)$ .

$u_{lower} = \csc (2 π \frac{1}{12})$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 π$ .

$u_{lower} = \csc (2 (π) \frac{1}{12})$

Bước 1.3.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$u_{lower} = \csc (2 (π) \frac{1}{2 (6)})$

Bước 1.3.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{lower} = \csc (2 π \frac{1}{2 \cdot 6})$

Bước 1.3.1.4

Viết lại biểu thức.

$u_{lower} = \csc (π \frac{1}{6})$

Bước 1.3.2

Kết hợp $π$ và $\frac{1}{6}$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{6})$

Bước 1.3.3

Giá trị chính xác của $\csc (\frac{π}{6})$ là $2$ .

$u_{lower} = 2$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u_{2} = \csc (2 π t)$ .

$u_{upper} = \csc (2 π \frac{1}{4})$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 π$ .

$u_{upper} = \csc (2 (π) \frac{1}{4})$

Bước 1.5.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$u_{upper} = \csc (2 (π) \frac{1}{2 (2)})$

Bước 1.5.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = \csc (2 π \frac{1}{2 \cdot 2})$

Bước 1.5.1.4

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = \csc (π \frac{1}{2})$

Bước 1.5.2

Kết hợp $π$ và $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

Bước 1.5.3

Giá trị chính xác của $\csc (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{2}^{1} \frac{1}{- 2 π} d u_{2}$

Bước 2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{2}^{1} - \frac{1}{2 π} d u_{2}$

Bước 3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- \frac{1}{2 π} u_{2}]_{2}^{1}$

Bước 4

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính $- \frac{1}{2 π} u_{2}$ tại $1$ và tại $2$ .

$(- \frac{1}{2 π} \cdot 1) + \frac{1}{2 π} \cdot 2$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{1}{2 π} \cdot 2$

Bước 4.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2 π}$ và $2$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{2 π}$

Bước 4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{2 π}$

Bước 4.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{2 π} + \frac{1}{π}$

Bước 4.2.4

Để viết $\frac{1}{π}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{1}{π} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 4.2.5

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $2 π$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Nhân $\frac{1}{π}$ với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{π \cdot 2}$

Bước 4.2.5.2

Sắp xếp lại các thừa số của $π \cdot 2$ .

$- \frac{1}{2 π} + \frac{2}{2 π}$

Bước 4.2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 1 + 2}{2 π}$

Bước 4.2.7

Cộng $- 1$ và $2$ .

$\frac{1}{2 π}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{2 π}$

Dạng thập phân:

$0.15915494 \dots$